場合によって計算が変わる数列について。

ある自然数a(n)を数列として、それが偶数なら、Aという演算をして、奇数ならBという演算をしたものが、次の項のa(n+1)であると定義したとします。

(a(n)を使ってAかBの演算をしたら、その結果のa(n+1)も、必ず自然数となるようになっています)

そのようなものは、一般項a(n)をnの式で表せますか。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/22 04:47

コラッツの数列{a(n)}は

a(1)を自然数とする
ある自然数nに対して
a(n)が偶数なら　a(n+1)=a(n)/2 とする
a(n)が奇数なら　a(n+1)=3a(n)+1 とする

と定義されます

N=(全自然数の集合)
写像
f:N→N
を
nが偶数なら　f(n)=n/2
nが奇数なら　f(n)=3n+1
と
定義すると

a(n)=(f^(n-1))(a(1))

となるけれども
一般項a(n)を純粋にnの式で表すことはできません
この例)に限らず
一般項a(n)を純粋にnの式で表すことができるものはほとんどありません

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/21 16:35

コラッツの数列{a(n)}は

a(1)を自然数とする
ある自然数nに対して
a(n)が偶数なら　a(n+1)=a(n)/2 とする
a(n)が奇数なら　a(n+1)=3a(n)+1 とする

と定義されます

N=(全自然数の集合)
写像
f:N→N
を
nが偶数なら　f(n)=n/2
nが奇数なら　f(n)=3n+1
と
定義すると

a(n)=(f^(n-1))(a(1))

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/21 10:05

a(n+1) = f(a(n))

で再帰的に定義される無限列の話でしょうね。

> 一般項a(n)をnの式で表せますか。

　常に可能です。すなわち

　　a(n) = (f^n)(a(0))

　運が良ければ、(f^n)をもっと簡単な関数で置き換えることができて、計算量を減らせる場合があります。たとえば、a(n)を計算するのにa(n-1)を計算しなくてもa(n/2)を計算すれば足りる、というようなことが起こるかも知れません。
　また、信じられないほど運が良ければ、「nの式」は（(f^n)のような再帰的に定義された記号や関数を全く含まない）非常に簡単な式になることがあります。

なお、

> それが偶数なら、Aという演算をして、奇数ならBという演算をした

ということは全く関係ありません。（たとえば、コラッツ予想で有名な数列は、運が良いというわけではない場合の一例にすぎません。）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/20 20:57

「ある自然数a(n)を数列として」ってどういうこと? 通常, 自然数は数列ではないよ.