集合列と上限

集合Xの部分集合A1,A2, … ,Ai, …に対して
A1⊂A2⊂…⊂Ai⊂…かつ∪[i=1→∞]Ai=Xを満たしている時、sup{Ai}=Xになりますか？
その時の証明もご教授頂けますと幸いです。

質問者からの補足コメント

• 本当は下極限sup{inf{Ai|i≧k}|k∈ℕ}=Xになるという話なのですが、そうであるならばsup{Ai}=Xも成り立つんじゃないかと思い質問させて頂きました、

    補足日時：2023/04/24 00:28

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/25 19:29

上限の定義)

X　が　{Ai} の上限であるとは,
{Ai}の上界全体の集合の最小元
最小上界
であることを言い
存在すれば
X=sup{Ai} とかく
--------------
だから
(1)Xは{Ai}の上界
(2){Ai}の任意の上界Pに対してX⊂P
を
示せば
Xは{Ai}の最小上界
X=sup{Ai}を示した事になる

集合Xの部分集合A1,A2, … ,Ai, …に対して
∪[i=1→∞]Ai=Xを満たしている時

任意のiに対して→Ai⊂∪[i=1→∞]Ai=X
だから
Xは{Ai}の上界

Pを{Ai}の上界とすると
任意のiに対して→Ai⊂P
だから
∪[i=1→∞]Ai⊂P
↓∪[i=1→∞]Ai=Xだから
X⊂P
だから
X=({Ai}の最小上界)=sup{Ai}
∴
sup{Ai}=X

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
また、追記も頂きありがとうございます
分かりやすくて助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2023/04/27 06:31

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/24 19:06

問題は、sup{Ai} という記号の定義だと思う。

通常は ∪{Ai} のことを別名で sup{Ai} と書くから、
集合族 {Ai} の元に添え字がついて集合列 A1,A2,A3,... になっていれば
sup{Ai} = ∪{Ai} = ∪[i=1→∞] Ai だというだけの話。
証明は、「sup の定義より自明」かな。

sup{Ai} に別の定義が与えられている文脈なら、
その定義に沿って証明を書かなけりゃなるまい。

ちな、 No.2 は
X ⊆ sup{Ai} だけを示して
X ⊇ sup{Ai} は示してないから、まだ半分。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2023/04/27 06:29

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/24 10:01

集合Xの部分集合A1,A2, … ,Ai, …に対して

∪[i=1→∞]Ai=Xを満たしている時

任意のiに対して→Ai⊂X
だから
Xは{Ai}の上界

Pを{Ai}の上界とすると
任意のiに対して→Ai⊂P
だから
∪[i=1→∞]Ai⊂P
↓∪[i=1→∞]Ai=Xだから
X⊂P
だから
X=({Ai}の最小上界)=sup{Ai}
∴
sup{Ai}=X

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/24 01:05

いちおうかくにんだが

sup{Ai}
ってどのように定義している?

「A1⊂A2⊂…⊂Ai⊂…かつ∪[i=1→∞]Ai=Xを満たしている」って, とっても不思議な気がするんだ....