I=∫[0-π] 1/(4-3sinθ) dθ これを留数定理を用いて、解いてほしいです。 範囲が[

I=∫[0-π] 1/(4-3sinθ) dθ

これを留数定理を用いて、解いてほしいです。
範囲が[0-2π]の場合なら解けるので、この範囲を[0-π]から[0-2π]に変換して解きたいです。
ご教授お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/06/05 15:42

本題の代わりに∫[0-π] 1/(1-asinθ) dθ 　０＜a＜1を

先に指摘した２つの方法で解くと
π/√(1-a²)＋(2/√(1-a²))arctan(a/√(1-a²)）になりしたがって
本題の答は上のa＝3/4としてさらに1/4倍したものということになる。
arctan(a/√(1-a²)）の項の存在がこの問題を単位円の1周積分で解くことを
不可能にしていると言えると思います。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2023/06/03 21:50

範囲を[0-π]から[0-2π]に変換して

というのは無理。
いつもどおりz＝ｅ^ｉθとおいてsinθ＝1/2ｉ(ｚ-1/ｚ)、dθ＝dz/ｉzを
代入して解くよりありません。ただしIは原点中心の単位円の上半分の
線積分だから、閉曲線の線積分とするために実軸上の区間[-1、1]を
付け加える必要がある。そしてこの閉じた半円周に留数定理を使う。
区間[-1、1]での積分は複素対数関数を用いて計算できます。
実はこの問題のIはこの区間[-1、1]での積分が無視できないので
単位円の全周の線積分で表わせないといえる。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2023/06/01 17:16

0からπまでの積分とπから２πまでの積分の関係がわからないから

留数定理での解決は難しいと思います。
ここはやはり定石のtanθ/2＝tと置換積分でしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/31 21:16

θ = φ/2 とおいて φ で積分する?