すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

すべての実数を整列させる方法を考えました。教科書が書き換わりますか？

まず

1→0.1
2→0.2
・
・
・
9→0.9
10→0.01
11→0.11
12→0.21
・
・
・
99→0.99
100→0.001
101→0.101
102→0.201
・
・
・
9999→0.9999
10000→0.00001
10001→0.10001
10002→0.20001
・
・
・
…835218→0.812538…
…835219→0.912538…
…835220→0.022538…
・
・
・

というように、すべての自然数と、0と1の間のすべての実数を、1対1に対応させる。右側が「0と1の間のすべての実数」であることに異論はあるだろうか。この列に存在しない(0と1の間の)実数は存在するのか。この列は、小数第一位の数字が1,2…9,0,1…9,0,1…となっているので、だいたいその値で推移しながら、実数が、0と1の間を無限に埋めていく形になっている。

で、すべての実数を整列させると

0,0.1,0.2…0.9,0.01,0.11,0.21…
1,1.1,1.2…1.9,1.01,1.11,1.21…
2,2.1,2.2…2.9,2.01,2.11,2.21…
・
・
・

(0),-0.1,-0.2…-0.9,-0.01,-0.11…
-1,-1.1,-1.2…-1.9,-1.01,-1.11…
-2,-2.1,-2.2…-2.9,-2.01,-2.11…
・
・
・

となる。この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。無限に並べたのに「ここまで」などということがあるだろうか。

で、すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させると、

1→0
2→0.1
3→-0.1
4→1
5→-1
6→2
7→-2
8→1.1
9→-1.1
10→0.2
11→-0.2
12→0.3
13→-0.3
14→1.2
15→-1.2
16→2.1
17→-2.1
18→3
19→-3
・
・
・

のようになるが、それとも自然数は途中で尽きてしまうだろうか。

有理数と同じわけに↓はいかないのか。

1/1,2/1,3/1…
1/2,2/2,3/2…
1/3,2/3,3/3…
・
・
・

1→1/1
2→1/2
3→2/1
4→3/1
5→2/2
6→1/3
・
・
・

https://note.com/abikonobuhiro666/n/n22a8edbc3936

質問者からの補足コメント

• 

  自然数「9…999」の「…」にあなたができると思うだけ9を並べてください。その自然数までの自然数の個数は「9…999個」で有限の値になります。自然数はそのままその自然数までの自然数の個数を表しています。なので自然数が有限桁のものしかなければ自然数の個数は有限になります。有限桁の自然数までの自然数の個数が無限になることはありません。
  
  どの桁の9を見ても必ずその次の桁に9があり「最大の桁の9」を見ることができない「…9…9…9…9…9…999」という無限桁の自然数までの自然数の個数なら「…9…9…9…9…9…999個」という無限の値になり、このような自然数が存在する場合だけ「自然数の個数は無限」と言うことができます。

    補足日時：2023/06/02 13:38

• 

  この列にπあるいは無限小数は存在しないとのことですが、「どこまで」が言えないことは認めるのですよね。私も言えません。私は、「どこまで」とは言えないすなわち限りがないので無限小数もπも存在する、「限りがないので限りがない」と当然のことを言っています。ところがあなた方は「どこまで」とは言えないすなわち限りはないが無限小数もπも存在しない、「限りはないけど限りがある」とおかしなことを言っています。

    補足日時：2023/06/02 13:46

• 

  No.18さんが「『すべての実数を整列させる』こと（これができるのはよく知られている）」とおっしゃっているのですが、本当ですか。サイトがあれば貼っていただけるとありがたいです。

    補足日時：2023/06/02 14:28

• 

  「今野、そこにπはあるんか?」
  
  この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

    補足日時：2023/06/03 17:35

• 

  無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。
  
  簡単な証明
  
  1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。
  
  2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

    補足日時：2023/06/04 19:22

• 

  詳しい説明
  
  1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。
  
  2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。
  
  3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

    補足日時：2023/06/04 19:25

• 

  4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。
  
  5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

    補足日時：2023/06/04 19:28

• 

  訂正
  
  6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。

    補足日時：2023/06/05 14:44

• 

  また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることはできないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることはできない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になるが、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

    補足日時：2023/06/05 14:45

• 

  「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。
  
  この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。
  
  「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

    補足日時：2023/06/06 10:13

No.49 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/06 10:58

3を無限にいれた

「…333」
は自然数ではありません
自然数は有限小数なのです有限桁の数なのです
ある桁以上はすべて0なのです
有限n桁の自然数
「3…333]
は表に存在します
有限であるnに対して
10^n位より大きい位の桁はすべて0なのです
nに上限は無いのでいくらでも大きい有限nが存在し
有限n桁の自然数
「3…333]
は表に無限に存在するから
(有限桁の)自然数の個数は無限になります

有限n桁の自然数
「3…333]
は表に無限に存在し

3を無限にいれた表に存在しない無限桁
「…333」
には近づくけれども

表に存在する有限n桁
「3…333]
と
表に存在しない無限∞桁
「…333」
の間には
必ず
表に存在する有限n+1桁
「3…333]
が存在するから

(有限桁の)自然数の個数は無限になります

この回答へのお礼

＞有限小数が無限にあることは認めているのですよね

いいえ認めていません。

＞「3…333]は表に無限に存在するから

いいえ存在しません。「3…333]までの自然数の個数は「3…333個]で有限で「3…333]の個数も有限です。

＞nに上限は無いのでいくらでも大きい有限nが存在し

桁は無限にあるのですかないのですか。他の方もそうですが、遠回りな言い方が間違いの元だと思います。

質問は「『…333』と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか」です。「『3…333』の次にも『3…333』がある」みたいな途中のことを言われても答えになっていません。「…」の部分を無限に増やしたと言いたいのでしょうか。では「3…333」の「…」が無限でそれが最後ですね。でも次の桁が空いてますよ。

お礼日時：2023/06/06 11:42

No.48 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/06/05 21:47

#42です。

…42番(π)と、…34番(3.33…)は、どちらが先になるのか、手短にお願いします。詳しい説明はいりませんから。

この回答へのお礼

どちらが先かはわかりません。たまには私の質問↓にも答えてください。ここはそういう場なので。

「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。

この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。

「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

お礼日時：2023/06/06 10:17

No.47 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 18:59

←No.45 補足

No.35 の趣旨への反論はどうしたの？
実数と自然数の濃度(個数)が同じか同じでないかを考えるときに、
「自然数」のほうの定義を変えたから実数の濃度と同じになりました
...では、何の意味もない議論だってことが解らない？

＞ 「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。]
＞ 「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と
＞ 駄々をこねられても…

もうさんざん複数の回答者が述べていることだが...
自然数全体のなす集合 N を考えたとき、
N の個々の元 n の桁数は有限値だが
その「n の桁数」を n∈N に渡って眺めると上限は存在しない。
簡単な話なんだがなあ。

この回答へのお礼

＞No.35 の趣旨への反論はどうしたの？実数と自然数の濃度(個数)が同じか同じでないかを考えるときに、「自然数」のほうの定義を変えたから実数の濃度と同じになりました...では、何の意味もない議論だってことが解らない？

「微妙に違います。自然数の本質を述べています。(あなた方が認識しているような)定義をした以上本質とは違うものになり、例えば自然数の個数が無限にならなくなったりします」と回答していますが。

＞もうさんざん複数の回答者が述べていることだが...自然数全体のなす集合 N を考えたとき、N の個々の元 n の桁数は有限値だがその「n の桁数」を n∈N に渡って眺めると上限は存在しない。簡単な話なんだがなあ。

だ～か～ら～、πに対応する自然数「…295142」には上限が存在しないんでしょ。私はずっと「上限は存在しないから上限は存在しない」とまともなことを言っていて、あなた方はずっと「上限は存在しないが上限は存在する」とおかしなことを言ってます。簡単な話なんだがなあ。なんだかなあ。

あなたの言っていることは簡単ではないですよ。Nは無限個？nは有限個？自然数の個数は無限だけど自然数の「実際の個数」は有限と言っているようにしか解釈できないのですが。

「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。

この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。

「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

お礼日時：2023/06/06 10:41

No.46 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/05 17:35

その表にπは存在しません

小数点以上が3の列において、
「3.14」は有限小数だから有限42番目に、
「3.141592」は有限小数で有限295142番目に、
「3.14159265358979」は有限小数で有限97985356295142番目に出てくる。
だけれども
πは無限小数だから出てこないけれども
有限小数の桁数は上限は無いから
無限に有限小数が出てくる

「3.14…8」は有限小数
「3.14…8…5」は有限小数
「3.14…8…5…9」は有限小数
「3.14…8…5…9…2」は有限小数
でてくるのは

全て有限小数で

無限に、有限小数が出てくる
(有限小数が無限にある)
だけで

永遠に、無限小数πが出てくることはないから

πは存在しない
-------------------------
有限小数の定義が全くわかっていないようです

小数点以下10^(-n)桁から先がすべて0になる数を
有限小数
といい
nには上限は無いからどこまでも大きくなるから
有限小数
は無限にあるのです
有限小数が無限にあることは認めているのですよね
有限小数と無限小数は違うことはわかりますか?

この回答へのお礼

「…333」と、次の桁に3を入れまたその次の桁に3を入れ…というように、あなた方の言う自然数の範囲で、可能な限り3を入れてできた自然数はどのようなものになりますか。「3…333」ですか。次の桁が空いてますよ。

この表にπもそれに対応する自然数も存在しない、限りなくそれに近づくがどちらも存在しないということであれば、自然数の個数についても同じことが言えるのではないですか。自然数の個数は限りなく無限に近づきはしますが決して無限にはなりませんよ。あなた方の自然数に対する認識が正しいなら自然数の個数は有限になります。これは何度も言っていることですが、「9…999」までの自然数の個数は有限なので、どんなに桁を増やしても、無限に近づくだけで決して無限にはなりません。

「問答はしまいじゃ」by山本元柳斎重國。次の質問でまたお会いしましょう。

お礼日時：2023/06/06 10:49

No.45 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/05 14:58

←補足(06/05 14:44)

ほら、自分の「自然数」が、定義を変更したもので
通常の自然数とは別物であることを認めているじゃない。
だから、No.35 の話になる。

この回答へのお礼

＞自分の「自然数」が、定義を変更したもので

微妙に違います。自然数の本質を述べています。定義した以上本質とは違うものになり、例えば自然数の個数が無限にならなくなったりします。

＞通常の自然数とは別物であることを認めているじゃない

はい認めてますよ。

No.35への返信

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

これはもちろん自然数の方も同じです。この質問に答えられるのか答えられないのか、まずはそこからです。

お礼日時：2023/06/05 15:17

No.44 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/05 06:04

自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義である

と認めるならば、
自然数の定義をかってに変更することはいけません

自然数とは有限小数なのです

自然数の定義から自然数は有限小数といえるのです
だから
無限桁の自然数が存在することの証明は間違いです

nを自然数とすると
nは有限桁
nのある桁以降無限に0が並ぶ

nの
有限個の
0
を
他の数字に置き換える場合は
nは有限桁の真自然数だけれども

nの
無限個の
0
を
他の数字に置き換えると
nは
無限桁になるため
nは
自然数でなくなるだけの事であって
無限桁の自然数が存在することの証明ではありません

自然数の定義をかってに変更することはいけません

この回答へのお礼

「今野、そこにπはあるんか?」

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

お礼日時：2023/06/05 15:07

No.43 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/04 20:34

←補足(06/04 19:25)

1.
どんな自然数 n に対しても n桁より大きい n+1桁の自然数は存在し、
n はどんなに大きな数でもよいが、有限の数であることには変わりがない。
n 自身は、自然数なので、無限ではない。

2. 3. 5.
それは、「桁」の定義を間違えている。
自然数 x に対して、それが 10進 n桁であるとは
10^n ≦ x < 10^(n+1) が成り立つことをいう。
左に並ぶ 0 の列は、その数の「桁」とは関係がない。

4. 5.
それは、主観的な主張であり、現今の数学者が実際に何を「自然数」と呼んでいるか
とは違っている。自然数はこう変更すべきだ！という主張は、それはそれで結構だが、
自然数の定義を変更すれば、自然数の集合の定義に基づく可算性の定義も変わる。
そのことは、No.35 に書いたとおり。

6.
おそらく No.32 が指摘したようなことがしたいのだろうが、それならそれで、
自分の定義したい新しい「自然数」が、他人が自然数と呼んでいるものとは別のもの
であることぐらい自覚しないと、議論が噛み合わないだけだと思うよ。

この回答へのお礼

「今野、そこにπはあるんか?」

この表に例えばπは存在しているだろうか。小数点以上が3の列において、「3.14」は42番目に、「3.141592」は295142番目に、「3.14159265358979」は97985356295142番目に出てくる。もしもπが存在しないというなら、ではどこまでのものがあるのか。「…」に一無量大数の一無量大数乗個ぐらい数字が並ぶとして、「3.14…8」までか。それとも「3.14…8…5」までか。それとも「3.14…8…5…9」までか。それとも「3.14…8…5…9…2」までか。という単純明快な質問にはまだ誰も答えていない。「ここまで」と言ってくれれば終わる話なのだが。「『どこまで』とは言えないけど有限と言ったら有限なんだいっ！！！」と駄々をこねられても…これはいよいよ教科書に載るか？

お礼日時：2023/06/05 15:08

No.42 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/06/04 20:05

お礼ありがとうございます。

それで結局、…42番(π)と、…34番(3.33…)は、どちらが先になるのでしょうか。

この回答へのお礼

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることができないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることができない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になる(このようなことは無限に続けることができる)が、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。

お礼日時：2023/06/05 15:00

No.41 回答者： mimon01 回答日時： 2023/06/04 19:34

> 教科書が書き換わりますか？

いいえ、決して教科書が書き換わる事はありません。
なぜなら、あなたの仮説が間違っているからです。
自信があるなら、論文にまとめて査読付きの数学の学術誌に寄稿しなさい。
間違いなく、リジェクトされます。

この回答へのお礼

「仮説が間違っている」ことは「決して教科書が書き換わる事はない」の証明になりますが、肝心の「仮説が間違っている」ことの証明がなくて自信が持てました。ありがとうございます！

査読付きの数学の学術誌に載らない＝間違っているでは残念ながらありません。

お礼日時：2023/06/05 14:58

No.40 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/06/04 08:50

質問者さんの方式で、πは3.14…なので、3列目の　…42番目ということで、

ならば、10/3は3.33…なので、3列目の　…34番目でしょうか。

それで、並べた時にこの2つはどちらが先に並ぶのでしょうか。
つまり、…42と、…34はどちらが大きい数かという事です。補足をお願いいたしますという事になるのですが。

…部分が無限に続くなら、大小が判定できないので、並べる事ができないと思います。

この回答へのお礼

無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数の場合は、「…0001」に1を足した「…0002」といった背景がわからなければ「…0001」と「…0002」の大きさを比べることはできない。それが自然数の本来の性質である。

お礼日時：2023/06/04 19:07