1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。 xy平面上

1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。
xy平面上に区分的に滑らかな単純閉曲線C[1],C[2],C[3],...,C[n],...があり、
各C[k]はいずれも
・円x^2+y^2=1を内部(または曲線上)に含む
・1≦x^2+y^2≦a[k]^2で表される領域にある
・原点を通る任意の直線と2点だけ共有点をもつ
という条件をみたしています。

n→∞のときC[n]の長さは2πに収束するのでしょうか？

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/10 15:49

> たとえばm[k]=3だったときr[k](2π/3)の値って何になるのでしょうか？

確かにおかしい。いろいろ間違っとりましたね。えーと、

　　1≦ r[k](θ) ≦ a[k]^2
を満たす連続な区分的一次式で、節点以外では
　　|dr/dθ|=constant
であるものを作るつもりだったんですよ。というわけで

　　m[k] = Ceil(1/(a[k]^2 - 1))
　　r[k](θ) = 1 + (1/(π m[k])) min( (m[k]θ) mod (2π), (-m[k]θ) mod (2π))
に訂正。（まだおかしいかしらん？）

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/10 12:20

C[k] を極座標(r,θ)で表せば、 r = r[k](θ) (≧1)という一価関数、ってことですかね。

するとたとえば、
　　m[k] = Floor(1/(a[k]^2 - 1)) （Floorは小数点以下切り捨てをする関数）
　　r[k](θ) = (1/(1 + m[k])) min{(m[k]θ) mod (2π), ((-m[k]θ) mod (2π))
　　C[k] = { (x,y) | x = (r[k](θ))cosθ ∧ y = (r[k](θ))sinθ ∧ 0≦θ＜2π}
とすれば円にトゲトゲがついたみたいな曲線になり、kが大きいほどトゲが短くなってトゲの数が多くなる。このC[n]の長さL(C[n])は2πに収束しない。なぜなら、
　　D[k] = ((x,y) | y = r[k](x) ∧ 0≦x＜2π}
とすると、これはギザギザの線ですけど、
　　L(D[k]) ≦ L(C[k])
は明らかで、そしてL(D[k])はkによらずconstantであり、2πより大きいのも明らか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
初歩的なことを聞いて申し訳ないのですが、
たとえばm[k]=3だったときr[k](2π/3)の値って何になるのでしょうか？
0ですか？

お礼日時：2023/06/10 15:13