収束するか、発散するか。

Question

物体に同じ方向で一定の力を加え続けた場合、物体の速度は増えていきます。

ところが、この物体には抵抗がかかるとします。どんな抵抗かというと、物体が運動する方向とは逆向きに、物体の速度に比例する抵抗力です。

この物体の速度と時間の関係を式で表現すると、どうなりますか。

また、時間がいつまでも経過する場合、この物体の速度は、発散しますか。収束しますか。

(相対性理論だと、「少なくとも光速を越えることはない」という答えが来そうなので、それはなしで、ニュートン力学の世界で教えてください)

stomachman · Accepted Answer

一定の力がかかった物体が流体中を運動するとき流体から受ける抵抗力はv^αに比例し、ここにαは1〜2で、レイノルズ数に依存します。ご質問はα=1の場合。
「加え続けた」力の大きさをF, 「物体の速度に比例する抵抗力」の大きさをGとすると、
　　F = G
のとき、物体の加速度が0になる。Gの比例係数をbとでも書くと、
　　F = m b v
であり、これを満たすvに収束するわけで、「終端速度」とか「終末速度」と呼ばれます。

ありものがたり · Answer

＞ どんな抵抗かというと、物体が運動する方向とは逆向きに、
＞ 物体の速度に比例する抵抗力です。

その抵抗力以外に力が働かないのであれば、
運動方程式は m dv/dt = -kv (kは比例定数) になるから、
解は v = v(0) e^(-(k/m)t).
t→0 では v→0 になる。

物体に何か他の力が働いていれば、また話は別。
抵抗力以外に重力が働いている場合の
 m dv/dt = mg - kv から
v = mg/k + { v(0) - mg/k }e^(-(k/m)t).
は、高校物理の教科書によく載っていると思います。

銀鱗 · Answer

(`・ω・´) ジェットエンジンの構造かな。

エンジン内のブレード（羽）が回転して前から空気をエンジンにたたきつける。
するとエンジンは前方向に推力を生み出す。
（実際には、取り込んだ空気を内燃機関で空気を膨張させて後方に噴出した反動で動いてるんですけどね）

そんなわけで、
　「（前から叩きつける）力と（後ろに引っ張られる）抵抗がバランスするところで速度は落ちつく（収束する）」
と言うことになるでしょう。

・・・

空気抵抗とか無いものとする……って条件が後から付きそうだけどね。

Tacosan · Answer

運動方程式をたてて解けばいいだけの話ではあるが, 「時間がいつまでも経過する場合、この物体の速度は、発散しますか。収束しますか。」についてはそこまでするまでもなく
ある限界速度が存在する
ことは容易に理解できるであろう.

収束するか、発散するか。

一定の力がかかった物体が流体中を運動するとき流体から受ける抵抗力はv^αに比例し、ここにαは1〜2で、レイノルズ数に依存します。

＞ どんな抵抗かというと、物体が運動する方向とは逆向きに、

(`・ω・´) ジェットエンジンの構造かな。

運動方程式をたてて解けばいいだけの話ではあるが, 「時間がいつまでも経過する場合、この物体の速度は、発散しますか。

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＞どんな抵抗かというと、物体が運動する方向とは逆向きに、