統計検定2級の問題 分散、共分散、相関係数

マーカーの部分の式変換がわかりません。
なぜX3がなくなるのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi …

これの問6です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/22 17:45

No.1 です。

そこに書かれている式に関してだけいえば、まずは
　V[X1 + X2 + X3] = V[X1 + (X2 + X3)]
= V[X1] + V[X2 + X3] + 2Cov(X1, X2 + X3)　　　　①
が成り立ち、この最終項に
　Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]･E[Y]　　　　②
の関係式を使って
　Cov(X1, X2 + X3) = E[X1(X2 + X3)] - E[X1]･E[X2 + X3]　　　③
与えられている条件 E[X1] = 0 から第2項が消えて、残った第1項に再び②式を使えば
　E[X1(X2 + X3)]
= E[X1X2 + X1X3]
= E[X1X2] + E[X1X3]
= Cov(X1, X2) + E[X1]･E[X2] + Cov(X1, X3) + E[X1]･E[X3]
ここで再び 与えられている条件 E[X1] = E[X2] = E[X3] = 0 を使って
= Cov(X1, X2) + Cov(X1, X3)

従って、③は
　Cov(X1, X2 + X3) = Cov(X1, X2) + Cov(X1, X3)　　　④

ここで、
　Cov(X1, X2) = r(X1, X2)･√{V[X1]･V[X2]}
　Cov(X1, X3) = r(X1, X3)･√{V[X1]･V[X3]}
であり、与えられた条件から
　r(X1, X2) = r(X1, X3) (= 0.5)
　V[X1] = V[X2] = V[X3] (= 1)
より
　Cov(X1, X2) = Cov(X1, X3)
従って、③④より
　Cov(X1, X2 + X3) = 2Cov(X1, X2)

これを使って、①は
　V[X1 + X2 + X3]
= V[X1] + V[V2 + X3] + 4Cov(X1, X2)　　　　①'


さらに
　V[X2 + X3] = V[X2] + V[X3] + 2Cov(X2, X3)　　　⑤
ここで、与えられた条件から
　V[X1] = V[X2] = V[X3] (= 1)
より
　V[X2 + X3] = 2V[X1] + 2Cov(X2, X3)　　　　⑤'

ひょっとして、与えられた条件に、
　r(X1, X2) = r(X1, X3) = r(X2, X3) (= 0.5)
の「r(X2, X3)」が抜けていませんか？
これがあれば、⑤' はさらに
　V[X2 + X3] = 2V[X1] + 2Cov(X1, X2)　　　　⑤''
と書けますから、①' は

　V[X1 + X2 + X3]
= 3V[X1] + 6Cov(X1, X2)　　　　①''

となります。
式変形をする上での条件が抜けているような気がします。

そもそも、お示しの画像で「下記が成立する」の第2式と第3式は同じものが書かれていますが、第3式は E[X1･X3] の書き間違いと思われ、かように「いい加減な」解説のように思えるので。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/06/22 16:53

rX1,X2＝rX1,X3 だから、

Cov(X1,X2)＝Cov(X1,X3) です。標準化されているので。

でも、Cov(X2,X3)はどうなっているのでしょうね。ハナから検討してないようだけど。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/22 15:16

「これの問６です」といいながら、問題を示さずに「Q6」（解答、解説）だけを見せられても、何とも判断できません。

そもそも「Y」とは何だ？
式を見ると「X1, X2, X3 の平均」なのかな？

問題も分からないのに「ここで～より下記が成立する」と言われたって「へ～っ、そうなんだ」としか言いようがありません。