オイラーのガンマ関数は階乗の一般化だと思うのですが、ベータ関数はどういう意味があるのかわかりません。いろいろ数学史の本を読みましたがオイラー自身がどういう動機でベータ関数を定義したのか調べることができませんでした。二項係数の逆数に似ているのですが、微妙に違います。ご存知の方よろしくお願い致します。

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A 回答 (1件)

物理屋の siegmund です.


ガンマ関数もベータ関数もよく使っていますが,
ベータ関数の由来については知りません.
ガンマ関数の定義の積分を Euler の第2種積分,
ベータ関数の方を Euler の第1種積分と称するところを見ると,
Euler においてはベータ関数の方が先だったんでしょうか.

二項係数の逆数と微妙に違う,と書かれているところを見ますと,
すでにご存知かとも思いますが
1/B(n,m) = m×C(n+m-1,n-1) = n×C(n+m-1,m-1)
です.
C(p,q) は p 個の中から,q 個取る組み合わせの数.
う~ん,惜しいところですね.
mB(n,m) を新たになんとか関数と定義すれば(あるいは,さらに n,m をいじる),
二項係数の一般化になりますが,
そうすると B(n,m) = B(m,n) という美しい関係がなくなってしまうし....

どうも余りお役に立つ回答になっていませんね.
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この回答へのお礼

またまたご回答ありがとうございます。

「Euler においてはベータ関数の方が先だったんでしょうか」
私はガンマ関数の方が先だと考えていましたが、たしかにベータの
方が先かもしれません。アルファベット順でも確かにベータの方が
先ですね。アルファ関数はあるのでしょうか。

ベータ関数の極の留数はガンマ関数になるという意味ではベータ
関数の方が先かもしれません。

ベータ関数の積分の式をみると、積分区間の両端で0になる最も
簡単な関数の形だと思います。二項係数との関連は偶然かも
しれません。

「B(n,m) = B(m,n) ) という美しい関係がなくなってしまうし」
そうですね。
ヴェネチアーノもα(s)とα(t)とで対称になるように、ガンマ関数を
組み合わせてヴェネチアーノ振幅に到達したので、
対称というのはベータ関数のよい性質ですね。

お礼日時:2001/09/15 18:46

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Aベストアンサー

>私大の入試問題は、どういった人が作成しているのでしょうか。

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助教授)が入試問題作成の担当になりました。

>あともう一つ質問があるのですが、関西の難関私大の問題は、だいたい各科目何割の得点をすれば合格圏でしょうか。


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Rossana さんの計算で間違いはないと思います.
念のため,岩波の数学公式を見ました.
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右辺を変形しますと
(2)  m(n+m-1)! / (n-1)!m! = {(mn/m+n)}× (n+m)!/ n!m!
    = {(mn/m+n)}× (n+m)Cn
で Rossana さんの結果と同じになります.

どうもテキストのミスのようですね.
どういうテキストか知りませんが,テキストにも結構ミスはあります.
著者の間違いもあるし,ミスプリもあります.
岩波の数学公式集のように長年広く使われたものでも,
間違いはあるでしょう.
私も数個間違いを見つけたくらいですから.

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ただ、HPに時間を取られるわけにはいかないので、
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ANo.1です。
x^4 = tとでも置いてみると
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よって
与式= (1/4)・B(3/2,1/2) = (1/4)・Γ(3/2)・Γ(1/2)/Γ(2) = (1/4)・((√π)/2)・(√π) = π/8

B(p,q);β関数、Γ(x);ガンマ関数


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