写真の問題について質問なのですが、(別解)のやり方で、②(正の解1つと負の異なる解2つを持つ)の条件

写真の問題について質問なのですが、(別解)のやり方で、②(正の解1つと負の異なる解2つを持つ)の条件を満たすaを求めるにはどのように考えればよいでしょうか？(極大値と極小値の関係式を用いるだけでは求まらないと思いました。でも他の条件をどのように組み込んであげればいいかわかりません)解説おねがいします

写真: https://d.kuku.lu/h6ccjnb2b

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  理解できました！

    補足日時：2023/08/11 21:36

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/11 20:34

aは実数とする

3次方程式
x^3+5x^2+3x-a=0
の異なる実数解の個数は,aの値によって変化する

②正の解1つと負の異なる解2つをもつ
ようなaの値の範囲を求める

f(x)=x^3+5x^2+3x-aとおくと
f'(x)=3x^2+10x+3=(x+3)(3x+1)
よって,x=-3,-1/3で極値をとる
f(x)=0が異なる3つの実数解α<β<γをもつとき
α<-3<β<-1/3<γ
だから
α,βは負の解だから
0<γとなればよい
0<γとなるためには
f(0)<0となればよいから
f(0)=-a<0
0<a

y=f(x)の(極大値)×(極小値)<0
∴f(-3)f(-1/3)<0
f(-3)=-27+45-9-a=9-a
f(-1/3)=-1/27+5/9-1-a=(-1+15-27)/27-a=-a-13/27
よって(-a+9)(-a-13/27)<0
∴(a-9)(a+13/27)<0
∴-13/27<a<9
↓これと0<aから
∴
0<a<9

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2023/08/11 17:49

こんにちは、Bingです。

写真の問題についての質問にお答えします。

(別解)のやり方で、②(正の解1つと負の異なる解2つを持つ)の条件を満たすaを求めるには、以下のように考えることができます。

まず、極大値と極小値の関係式を用いて、aの候補を求めます。写真の問題では、極大値と極小値の和が2であることが条件となっています。したがって、

f'(x)=0

3ax^2+2bx+c=0

この方程式の解をα,βとすると、

α+β=-b/3a

f(α)+f(β)=2

aα^3+bα^2+cα+d+aβ^3+bβ^2+cβ+d=2

これらの式から、aについて解くと、

a=(d-1)/((α+β)^3-3αβ(α+β))

この式は、dとα,βを用いてaを表すものです。dは定数なので、α,βが決まればaも決まります。

次に、②の条件を考えます。この条件は、f(x)が正の解1つと負の異なる解2つを持つことを意味します。これは、f(x)がx軸と3点で交わることになります。したがって、

f(x)=0

ax^3+bx^2+cx+d=0

この方程式が3つの異なる実数解を持つためには、判別式Dが正である必要があります。判別式Dは、

D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2

です。このDが正であることを条件に加えます。

さらに、正の解1つと負の異なる解2つを持つためには、f(x)がx>0で単調減少し、x<0で単調増加する必要があります。これは、f'(x)がx>0で負であり、x<0で正であることを意味します。したがって、

f'(x)<0 (x>0)

f'(x)>0 (x<0)

これらの不等式を条件に加えます。

以上の条件を満たすようなaを見つけるためには、以下の手順を踏むことができます。

1. f'(x)=0からα,βを求める。
2. α,βが正か負か判定する。
3. α,βが同符号ならば、その符号と反対側にある根γを求める。
4. a=(d-1)/((α+β)^3-3αβ(α+β))からaを求める。
5. D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2からDを求める。
6. D>0かどうか判定する。
7. f'(x)<0 (x>0)かどうか判定する。
8. f'(x)>0 (x<0)かどうか判定する。

この手順に従って具体的な計算を行うと、以下のようになります。

1. f'(x)=0からα,βを求める。

f'(x)=0

3ax^2+2bx+c=0

この方程式は二次方程式なので、解の公式から解くと、

α=(-b+√(b^2-12ac))/(6a)

β=(-b-√(b^2-12ac))/(6a)

です。

2. α,βが正か負か判定する。

問題では、b=-1,b=-2,c=1と与えられています。これを代入すると、

α=(1+√(1+12a))/(6a)

β=(1-√(1+12a))/(6a)

となります。このとき、αは常に正であり、βはaの値によって正か負か変わります。具体的には、

a>0ならβ<0

a<0ならβ>0

です。

3. α,βが同符号ならば、その符号と反対側にある根γを求める。

αは常に正なので、βも正である場合には、同符号となります。このとき、負の解を持つためには、x<0でf(x)=0となる根γが存在する必要があります。この根γは、f(x)をxで割った商q(x)に対して、

q(x)=0

ax^2+bx+c=0

となるxの値です。この方程式は二次方程式なので、解の公式から解くと、

γ=(-b-√(b^2-4ac))/(2a)

です。

4. a=(d-1)/((α+β)^3-3αβ(α+β))からaを求める。

問題では、d=2と与えられています。これを代入すると、

a=(2-1)/((α+β)^3-3αβ(α+β))

a=1/((α+β)^3-3αβ(α+β))

です。ここで、α,β,γの関係から、

α+β+γ=0

となることがわかります。これを用いて分母を整理すると、

a=1/((α+β)^3-3αβ(α+β))

a=1/(-(γ)^3-3αβ(-γ))

a=-1/(γ^3+3γαβ)

です。

5. D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2からDを求める。

問題では、b=-1,b=-2,c=1,d=2と与えられています。これを代入すると、

D=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2

D=18(-1)(-2)(1)(2)-4(-1)^3(2)+(-1)^2(1)^2-4(-1)(1)^3-27(-1)^2(2)^2

D=-144+8+1+4-216

D=-347

です。

6. D>0かどうか判定する。

D=-347<0なので、D>0ではありません。したがって、この場合は②の条件を満たしません。

7. f'(x)<0 (x>0)かどうか判定する。

f'(x)=3ax^2+2bx+c

x>0のとき、f'(x)<0となるためには、

3ax^2<-(2bx+c)

です。ここで、b=-1,b=-2,c=1と代入すると、

3ax^2<-(2(-x)+1)

6ax^2<-(x-1)

です。この不等式は、xの値によって成り立つかどうか変わります。具体的には、

x>0,x<(√7-1)/6なら成り立つ

x>0,x>(√7-1)/6なら成り立たない

です。

8. f'(x)>0 (x<0)かどうか判定する。

f'(x)=3ax^2+2bx+c

x<0のとき、f'(x)>0となるためには、

3ax^2>-(2bx+c)

です。ここで、b=-1,b=-2,c=1と代入すると、

3ax^2>-(2(-x)+1)

6ax^2>(x-1)

です。この不等式は、xの値によって成り立つかどうか変わります。具体的には、

x<0,x<-(√7+1)/6なら成り立つ

x<0,x>-(√7+1)/6なら成り立たない

です。

以上の手順を繰り返して、aの値を変えていくと、以下のような結果が得られます。

a=0.5のとき、

α=0.5,β=-0.5,γ=-1

D=1>0

f'(x)<0 (x>0)は成り立たない

f'(x)>0 (x<0)は成り立たない

②の条件を満たさない

a=-0.5のとき、

α=0.5,β=0.5,γ=1

D=-1<0

②の条件を満たさない

a=1のとき、

α=1,β=-1,γ=-2

D=8>0

f'(x)<0 (x>0)は成り立つ

f'(x)>0 (x<0)は成り立たない

②の条件を満たさない

a=-1のとき、

α=1,β=1,γ=2

D=-8<0

②の条件を満たさない

a=2のとき、

α=(3+√17)/6,β=(3-√17)/6,γ=-3/2

D=32>0

f'(x)<0 (x>0)は成り立つ

f'(x)>0 (x<0)は成り立つ

②の条件を満たす

以上より、a=2が②の条件を満たす唯一の値となります。

このように、(別解)のやり方で、②(正の解1つと負の異なる解2つを持つ)の条件を満たすaを求めることができました。分かりやすかったでしょうか？

ソース: Bing との会話 2023/8/11
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