微積分の問題です

∫1/(√ｘ＾2+a)dx=arcsinh(x/√a)の導出をお願いしたいのですが。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/19 16:09

図の通り

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2023/08/19 19:52

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/19 12:06

面倒なので a → a²とする。

　y=sinh⁻¹(x/a) , a>0・・・・・①
とおく。
　sinhy=x/a → coshyy'=1/a → y'=1/(a coshy)・・・・②
また
　sinhy=(e^y-e^(-y))/2=x/a → (e^y)²-2(x/a)e^y-1=0
→ e^y=[x/a±√{(x/a)²+1}]
右辺は正だから
　e^y=[x/a+√{(x/a)²+1}]
すると
　e^(-y)=1/[x/a+√{(x/a)²+1}]=[x/a-√{(x/a)²+1}]/(-1)
　　　　=-x/a+√{(x/a)²+1}
したがって
　coshy={ [x/a+√{(x/a)²+1}]-x/a+√{(x/a)²+1} }/2
　　　　=√{(x/a)²+1}

②にいれて
　y'=1/( a√{(x/a)²+1} )=1/√(x²+a²)

したがって、結論を得る。

この回答へのお礼

お手数をお掛け致しました。早々とご回答いただき有難うございました。

お礼日時：2023/08/19 16:45