位相の定義の、位相の元からなる集合族のUがまた位相にはいってるといういみがわかりません。。

位相の定義の、位相の元からなる集合族のUがまた位相にはいってるといういみがわかりません。。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/25 13:34

例を挙げてみましょうか。

例えば、S = { 1,2,3 } に対して
O = {　{ }, { 1 }, { 2,3 }, { 1,2,3 }　} は位相になっています。
∪ に関する要件は、全部やってみれば
{ } ∪ { } = { } ∈ O,
{ } ∪ { 1 } = { 1 } ∈ O,
{ } ∪ { 2,3 } = { 2,3 } ∈ O,
{ } ∪ { 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ 1 } ∪ { 2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ 1 } ∪ { 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ 2,3 } ∪ { 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ } ∪ { 1 } ∪ ｛ 2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ } ∪ { 1 } ∪ ｛ 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ } ∪ { 2,3 } ∪ ｛ 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ 1 } ∪ { 2,3 } ∪ ｛ 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O,
{ } ∪ { 1 } ∪ { 2,3 } ∪ ｛ 1,2,3 } = { 1,2,3 } ∈ O
で、どの ∪ もみな O の元です。

例えば、S = { 1,2,3 } に対して
O = {　{ }, { 1 }, { 2 }, { 1,2,3 }　} は位相ではありません。
{ 1 } ∪ { 2 } = { 1,2 } ∉ O
で、∪ が O の元でない例があるからです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/09/28 11:16

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/25 13:25

質問の意味がわかりにくいのですが...

何がわからないんでしょう？

集合 S が位相を持つとは、S の部分集合の属 O が
所定の公理を満たすことをいいます。
そのとき、S と O の組 <S,O> は位相空間であるといい、
O を <S,O> の位相と呼びます。
<S,O> と S を混同して呼ぶことが多いので、
「S は位相 O を持つ」などということがあります。

O が位相であるために満たすべき公理は、↓のようなものです。
https://www1.econ.hit-u.ac.jp/kawahira/courses/k …
S の部分集合からいくつか選び出して集めたものが O、
O の元は S の部分集合になっています。
公理 3. は、
O の元を好きに選び出してその合併集合をつくると、それも O の元
でなければいけない と言っています。
そうでなければ O は位相とは呼べない ということです。

単にそういう規約なのですが...