二次関数の解の配置問題で納得できないものがあります

「二次方程式x^2-2(a-1)x+(a-2)^2=0」の異なる実数解をα、βとするとき、0<α<1<β<2を満たすように定数aの値の範囲を求めよ」
という問題で、解答は
・f(0)>0
・f(1)<0
・f(2)>0
を条件に解いています。
私は
・f(0)>0
・f(2)>0
・D>0
・0<軸の位置<2
の条件で考えたのですが、なぜ私の考え方ではまずいのでしょうか？

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/01 14:34

α<βだって、β<αだって、貴方の条件を満たしている。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/29 11:18

回答は確実です　しかし　貴方のは　例えば

D>0　...............実数解が異なる2解
0<軸の位置<2　　............極小値が0と2の間にある
f(0)>0・f(2)>0　だけでは　0<α<1<β<2　が満たせません
例えば　0<α,β<1　や　1<α,β<2　の場合も貴方のは満たしてしまうから
でも　α<1<β<2　も入ってはいますが　上記の場合2パターンも入ってしまうので不正解です

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/28 16:46

f(x)=x^2-2(a-1)x+(a-2)^2

a=3-√2
のとき

f(x)
=x^2-2(2-√2)x+(1-√2)^2
=x^2-2(2-√2)x+3-2√2
=(x-3+2√2)(x-1)
=(x-α)(x-β)

f(0)=3-2√2>0
f(2)=2√2-1>0
D=1>0
0<軸の位置=2-√2<2
だけれども

0<α=3-2√2<1=β
だから
1<β<2を満たしていない

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/09/28 12:24

0<α<β<1や1<α<β<2

も質問者さんの条件に当てはまりませんか？

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/09/28 12:19

質問者の条件だと0<α<β<2にはなるがαとβの間に１が来るとは限らない。

両方が1よりも大きい(小さい)場合も質問者の条件を満たす。

No.1 回答者： siromaria 回答日時： 2023/09/28 12:18

非常に簡単で、

アナタが考えた条件だと、
0<1<α<β<2
も満足する関数の存在を否定しないからです
回答の条件だと、関数の解は、1つは1に極めて近いけど1より解が右に存在し（x=1/1000みたいな)、
またもう1つは2に極めて近いけど2より左に存在する解（x=1999/1000みたいな）と強制的に定義付けることができます
判別式が無くてもf(1)<0なので実質的にD>0を与えることができます
一方でアナタの回答では飽くまで軸の位置を考えただけであって、２つの解が極端に2に近い関数を作ることもできます
要するにD>0と0<(軸の位置)<2では関数を特定できないわけです