画像のセンター問題に関してお答えして頂けないでしょうか。 出来れば解答だけではなく、理由と過程の計算

画像のセンター問題に関してお答えして頂けないでしょうか。

出来れば解答だけではなく、理由と過程の計算も書いてくださると助かります。

(2)は2位の位。
(3)はa-1は2πiでそれ以外のaの係数は0になるので答えは4だと思うのですが、正しいでしょうか？
ただ、仮に正しいとしてもなぜz=0での留数とa-1が等しい値かわかりません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/07 21:53

＞ では、(3)の解答は④で良いでしょうか？

だから、そう言ってるじゃない。理由は No.2 に書いたし。

＞ ちなみに、載せた問題は自作問題ではなく、過去のセンター試験の問題みたいです。

嘘ぷー。言って通る主張と、そうでない主張がある。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/07 20:41

ああ本当だ。

-1 乗項の係数は ④ だったね。
選択肢が[チ][ツ][テ][ト][ナ]の順に並んでるかと思って、間違いました。
そういうとこは、センター問題らしい感じに作ってあるね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
では、(3)の解答は④で良いでしょうか？

また、それ以外の解答は正しいでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

ちなみに、載せた問題は自作問題ではなく、過去のセンター試験の問題みたいです。

お礼日時：2023/11/07 20:44

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/07 20:21

センター問題？ ローラン展開が出題されるわけないけど。

自作問題なのかな...

(2)
1/{ (z^2)(z+1)^2 } の分母を見れば、[二]は 2 だと判る。
f(z) = 1/{ (z^2)(z+1)^2 } と置くと、
(z^m)f(z) が z=0 で正則になるような最小の m は m=2 だから。

(1)
極の位数を使って、(z^2)f(z) の z=0 を中心とするテイラー展開を考える。
(z^2)f(z) = 1/(z+1)^2 = 1 - 2z + 3z^2 - 4z^3 + 5z^4 + ... となるから、
f(z) = 1/z^2 - 2/z + 3 - 4z + 5z^2 + ...
すなわち、[チ] 1 [ツ] -2 [テ] 3[ト] -4 [ナ] 5 である。

(3)
留数は、常に -1 乗項の係数である。[ヌ]は ②。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの(3)に関して留数は、常に -1 乗項の係数なのはわかりますが、なぜa-1である④が正解ではないのでしょうか？

お礼日時：2023/11/07 20:30

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/07 18:55

0＜|z|＜1での展開ならば

1/(1＋z)＝1－z＋z²－z³＋z⁴－z⁵＋･･･を項別微分して－1倍すると
1/(1＋z)²＝1－2z＋3z²－4z³＋5z⁴－･･･だから
1/z²(z＋1)²＝1/z²－2/z＋3－4z＋5z²－･･･が求める展開です。