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a,bは2以上の整数

a^bー1が素数の時、a=2,bが素数であることを証明せよ。

という問題で
(a-1)(a^(b-a)+・・・・・1)と因数分解して
a=2でないと素数にならない という方法で証明できたのですが(ここまでは大丈夫です)

別解いけるかなと思い
a^b-1を和と差の積に因数分解

和の方が素数、差の方が1になるはず的な考えでいけるかと思ってやってみている
↓和と差の積の差の方=1
a^(b/2)-1=1  →a^(b/2)=2   (aの2分のb乗)
aは2しかなさそうですが、これだとbも2で決まってしまいます。

a=2,b=5で31とかもあるので・・・。
整数問題って、途中も全部整数にならないといけないんでしたっけ?

A 回答 (3件)

> a=2,b=5で31とかもあるので・・・



がお分かりなら、
  2^5 - 1 = (4√2 - 1)(4√2 + 1)
が素因数分解にはなっておらず、もちろん
  4√2 - 1 ≠ 1
だ、ということもお分かりのはず。

 この場合、素因数分解したいんですよね。そして、もし素因数分解すれば、出てくる因子(おっしゃるところの「途中」)は整数に限定。当たり前の話です。つまり、

> 整数問題って、途中も全部整数にならないといけない

ということじゃなくて、「途中も全部整数にならないといけない」はご自身が(暗黙裡にうっかり)要求した条件なんですよ。

  つまりこれは「2^5 - 1が素数で、かつ、(4√2 - 1)と(4√2 + 1)がどちらも整数であるならば、(4√2 - 1)=1だ」という(真である)命題です。
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a^b-1=(a-1)(a^{b-1}+…+1)


a^b-1が素数だから
a-1=1
a=2
a^b-1=2^b-1

pをbの素因数とすると
b=npとなる自然数nがある
2^b-1=2^{np}-1

A=2^nとすると

2^{np}-1=A^p-1

A^p-1=(A-1)(A^{p-1}+…+1)
A^p-1が素数だから
A-1=1
A=2
A=2^nだから
2^n=2
n=1

b=pは素数
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あなたのいう「整数問題」とやらが正確にどのようなものなのかわからんのだが, 「なにがなんでも整数しか使ってはいけない」ということはないよ.



ということで
a^b-1 = [a^(b/2)-1][a^(b/2)+1]
とはなるけど, 右辺にある因数が整数でなければならないという決まりもない.

なお
(a-1)(a^(b-a)+・・・・・1)
は間違っているので気をつけよう.
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この回答へのお礼

最初 a,bは2以上の整数という条件です

前半
そうですよね。この方法だと正解までたどり着くのは無理でしょうか?

後半
タイプミスです
(a-1)【a^(b-1)+・・・・+1】ですね

お礼日時:2023/11/11 00:08

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