数学1+Aの問題を教えてください

y=ax²　のグラフをx軸方向にp,y軸方向にq動かすと　y=a(x-p)²+q　の形になる理由がどうしても分かりません。
お手空きの方、回答お待ちしております。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/14 11:01

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13621937.html 参考に！
逆に考えてみましょう！　つまり
Y=aX^2 という　(x,y)=(p,q) の所を原点として新しく座標をX-Y座標をとれば
元のy=ax^2 は　新しい座標の原点から
Y=aX²　のグラフをX軸方向に -p,Y軸方向に -q動かしたものが　元のy=ax^2 になるので
Y-(-q)=a(X-(-p))^2
∴　Y+q=a(X+p)^2 ....................................(1)
これが　元のy=ax^2 であるから　係数比較すると
Y+q=y　　∴　Y=y-q
X+p=x ∴　X=x-p
であり　(1)に代入すれば
(y-q)+q=a((x-p)+p)^2
∴y=ax^2　となるから　
旧座標で考えれば　y=ax^2　から
x軸方向にp,y軸方向にq動かすと　y=a(x-p)²+q　の形になる
ことが　わかってもらえると思います。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/14 08:56

いろいろ考え方はあるのだけど

x' = x + p
y' = y + q
で (x', y') は (x, y) より (p, q）だけずれた位置になるのは
解ると思います。

これを変形して
x = x' - p
y = y' - q

として y = ax^2 に代入すると
y'-q = a(x'-p)^2
→ y' = a(x'-p)^2 + q

この式の x', y' を改めて x, y と書き直すと
y = a(x-p)^2 + q

形式的過ぎるかもしれないけど・・・

No.5 回答者： AっKI 回答日時： 2023/11/14 07:26

私もNo.2の方に賛成

こういうのは、式変形から入るのではなく
『実際に実験してみて、その結果から考える（理解する）」
ということが大切です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/13 23:03

移動前の曲線の座標を、移動前の原点を基準にした座標 (X, Y) を使って

　Y = aX²　　　①

と表すことにします。

そうすれば、移動後の座標 (x, y) は
　x = X + p　　　②
　y = Y + q　　　③
になります。

①を、②③の (x, y) で表わせばよいので、
　②より X = x - p
　③より Y = y - q
として①に代入すれば

　y - q = a(x - p)^2
→　y = a(x - p)^2 + q

になります。

「移動後の (x, y)」で表わしたいのですよね？
②③の関係であることさえしっかり認識すれば大丈夫です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/13 21:15

y=ax² 上の点は、(t,at²) ｔは実数 と表すことができます。

この点をx軸方向にp,y軸方向にq動かすと、(t+p,at²+q) です。
(t+p,at²+q) tは実数 と表される点が描く曲線の方程式は、
x=t+p, y=at²+q から t を消去して y=a(x-p)²+q です。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/13 21:06

a に 適当な数字を決めて、実際にグラフを書いてみて。

a の数字を ２～３替えて やってみたら 分かると思いますよ。

式で考えるなら y=ax² は y-0=a(x-0)² と 書くことが出来ますね。
では、原点を（0, 0) ではなく (p, q) と考えたら どうなる？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/13 19:24

y=ax²

のグラフを
x軸方向にp
y軸方向にq
動かした後の座標を
(X,Y)とすると
X=x+p
Y=y+q
だから
X-p=x
Y-q=y
↓これをy=ax²に代入すると
Y-q=a(X-p)²
↓両辺にqを加えると
Y=a(X-p)²+q
↓Xをxに、Yをyに置き換えると
∴
y=a(x-p)²+q