3次関数と直線の交わる範囲が分かりません

ｙ＝1/27(x-1)~3とy=Kxが相異なる三点で交わる時のKの値の範囲が分からなくて困っています。
どなたかお答えいただけたら幸いです。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/11/16 22:07

3次関数のグラフは決まっていて、

1次関数：y= Kxが Kの値に応じて動いていくので K= 0から動かしていきましょう。（傾きの角度を変化させていきます。）

3次関数：y= 1/27* (x-1)^3は、y= 1/27* x^3を x軸方向に 1だけ平行移動したものになります。
こう考えれば、グラフは描きやすいと思います。
y= Kxは「比例のグラフ」なので、原点を通ることはいいと思います。

K= 0から Kの値を変えていく（角度を急にしていく）のですが、
(i) Kが 0以上の値をとる場合
(ii) Kが負の値をとる場合
のそれぞれを考えないといけません。
「角度を大きくしていく」と考えると、直線はぐるっと回っていきますが、
傾きの値としては負の値に変わってしまいます。

先に(ii)の場合を考えれば、1点でしか交わらないことがわかるので、満たす Kの値はないことになります。

次に(i)の場合を考えます。
K= 0から値を大きくしていくと、接するところが現れます。
この値よりも Kが大きいときには、3点で交わるようになります。
ここまできて、この「境界」となる Kの値を求めます。

1つの接点と 1つの交点が現れるので、それぞれの x座標をα、β（α≠β）とすると

1/27* (x-1)^3- Kx = 1/27* (x-α)^2* (x-β)

となるはずです。
接点は重解として与えられることを利用します。
係数比較をすると、α、β、Kが求められます。（α≠βを忘れずに）

あとは、その Kの値よりも大きい範囲が答えとなります。

微分を使わないのであれば、このような方法になると思います。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/16 12:55

計算でやるにしても、グラフでやるにしても、ここのまま正直にやるのでは能がない。

特に、計算でやる場合は計算が面倒。　できるだけsimpleに行こう。。。

x-1＝t　とする。
27ｙ＝t＾3、ｙ＝k*（t＋1）‥‥(1)　とで考えると良い。

（計算で解く場合）

(1)から、f（t）＝t＾3-27kt-27k＝0とすると、f´（t）＝3t＾2-27k＝3*（t＾2-9k）となるから、題意を満たすには　k＞0で、（極大値）*（極小値）＜0　であると良い。
t＝±3√k　で極値をとるから（実際に計算して）k＞1/4.

（グラフで解く場合）

ｙ＝t＾3、ｙ＝27k*（t＋1）のグラフをty平面上に書いてみる。　
とすると、定点（-1、0）を通る全ての直線の傾きが　27kより小さければよい。
ｙ＝t＾3の接点をＰ（α、α＾3）とすると、その接点における接線の方程式は　y＝（3α＾2）*（t-α）＋α＾3。これが点（-1、0）を通るから、明らかにα≠0より、α＝-3/2.
この時、求める傾き＝3α＾2＝27/4　であるから、27k＞27/4　→　k＞1/4　となる。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/11/16 04:43

まず、ｙ＝(1/27)(x-1)~3 …(A)　のグラフの外形を描く。

y=Kx…(B) が (A)に接するときのKを求めると
K=1/4
y=x/4のグラフを(A)のグラフに書き込む。

グラフから、3点で交わる条件を求めると直線(B)の傾きKが
K＞1/4
であればよい。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/16 03:12

＃１、訂正

f(x)=1/27(x-1)^3-Kx
が異なる３つの解を持つということです。
↓
f(x)=1/27(x-1)^3-Kx　とするとき、
f(x)=0　が異なる３つの解を持つということです。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/16 03:08

ｙ＝1/27(x-1)^3とy=Kxとが相異なる三点で交わるということは、

f(x)=1/27(x-1)^3-Kx
が異なる３つの解を持つということです。
f(x)は右上がりの関数ですから、
f(x)の極大値＞0
f(x)の極小値＜0
となれば、f(x)は異なる３つの解を持ちます。

f'(x)=0が２つ解α,β(α<β)を持つとき、
f(α)>0, f(β)<0　となるKの値の範囲を調べてください。