大学入試物理の問題です

時刻tと、短い時間⊿tだけ経過した時刻t+⊿tの間の時速の変化分⊿φは⊿φ=2Bωh[cos(ω(t+⊿t))-cosωt]を三角関数の加法定理を使って変形し、さらに角度xが充分小さい時に成り立つ近似式sinx≒x、cosx≒1を使うと、⊿φ=？⊿tとなる。
？に入る部分を求める問題で、答えは-２ωBωhsinωtになります。

私は加法定理を使ってcos ωt cos ω⊿ t - sin ωtsin ω⊿ t - cos ωtの式を求めた後、cosωtを1、sinωtをωにして求めて答えが出ませんでした。cosω⊿tを1、sinωtをωとするのだと思いますがどうしてこうなるのか分かりません。よければ教えてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/21 00:26

＞時速の変化分　⊿φ = 2Bωh[cos(ω(t+⊿t)) - cosωt]

時刻 t のとき
　φ(t) = 2Bωhcosωt

時刻 t+⊿t のとき
　φ(t+⊿t) = 2Bωhcosω(t+⊿t)

ということ？

cos(ω(t+⊿t))
= cosωt･cosω⊿t + sinωt･sinω⊿t
なので
cos(ω(t+⊿t)) - cosωt
= cosωt･cosω⊿t + sinωt･sinω⊿t - cosωt
= (cosω⊿t - 1)cosωt + sinωt･sinω⊿t

従って
　⊿φ = 2Bωh[cos(ω(t+⊿t)) - cosωt]
　　　＝ 2Bωh[(cosω⊿t - 1)cosωt - sinωt･sinω⊿t]

ここで、ω⊿t << 1 のとき
　cosω⊿t ≒ 1
　sinω⊿t ≒ ω⊿t
で近似すれば
　⊿φ ≒ 2Bωh[0 - sinωt･ω⊿t]
　　　= -2Bω^2･h･sinωt･⊿t

この回答へのお礼

ありがとうございます！
理解出来ました。

お礼日時：2023/11/22 12:58

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/20 23:23

> とするのだと思いますが

違います。x=ωではなく、x = ω⊿ t ですからね。

この回答へのお礼

なるほど！
理解出来ました。ありがとうございます。

お礼日時：2023/11/21 00:03