幾何学 ベクトル 以下の問題の解説をお願いします！！！

射影直線において，3点(1:0),(0:1),(1:1)をそれぞれ3点(1:1),(1:2),(1:0)に移す 射影変換を表す行列を求めよ.

写真は解答です。
解答の3行目「第3列の〜」からがわかりません。M(1 1) = (a+b a+2d) = (c 0)になんでなるんですか？
解説お願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/22 14:30

パソコンの文字列で行列の話をするのは、

ちょっと勝手が悪いな...

行列 X =
　　　　1　0　1
　　　　0　1　1,
行列 Y =
　　　　a　b　c
　　　　a　2b　0,
行列 A =
　　　　1　0
　　　　0　1
　　　　0　0,
ベクトル B =
　　　　0
　　　　0
　　　　1
と置く。
適当な a,b,c によって MX = Y を満たすような M を求めよ
という問題です。

MXA = YA が成り立つが、
XA は二次の単位行列になっているので M = YA である
...というのが写真の 2行目。

MXB = YB が成り立つが、
この式に M = YA を代入すると YAXB = YB になる
...というのが写真の 3行目の前半。

YAXB = YB という式は、両辺が二次の列ベクトルだが、
成分計算すると
1 行目が a + b = c,
2 行目が a + 2b = 0
になります。

この式を a,b の連立一次方程式として解くと、
a = 2c,
ｂ = -c
です。これが 3行目の後半です。

この a,b を M = YA へ代入すると M が求まる
...というのが写真の 4行目です。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/22 10:06

Mは2×2行列

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/22 07:37

>3点(1:0),(0:1),(1:1)をそれぞれ3点(1:1),(1:2),(1:0)に移す

>射影変換を表す行列を求めよ.

この記法初めてみるな。比が一定になる全ての点という意味なんだろうか？
特定の教科書か特定業界の記法？
要出典。

行列を求めよだから射影変換は線形変換だと察せよという
話なのかな？

線形変換なら、変換は２×２の行列で表すことが出来て
ベクトルp、q、r、sに対して
Mp=r
Mq=s
なら
M(p+q)=r+s
となります。これは行列の基本的な性質のひとつ。
証明はまともな教科書なら載ってます。

p=
1
0

q=
0
1

p+q=
1
1

r=
a
a

s=
b
2b

r+s=
c
0

なので解説のようになります。