統計の問題について ﾃﾞｰﾀ 1 2 3 4合計 度数 58 42 a b 200 このデータが一様

統計の問題について

ﾃﾞｰﾀ 1 2 3 4合計
度数 58 42 a b 200
このデータが一様分布かどうかを優位水準 0.02 で適合度検定をしたとき、帰無仮説が
棄却されない組合せ（a,b ）はいくつあるか。

度数が不明のパターンに触れたことがなく、この問題の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/30 10:41

No.1 です。

「お礼」を見ました。

＞テキスト的にはカイ二乗検定になるのかと思うのですが

よくわかりませんが「母平均が 50 の母集団から採取して来たといえるか」ということを検定するのでしょうか。

そのために「カイ二乗分布」を使う。
「理論値 50」に対するカイ二乗値は、#1 に示した「c」を使って
　(58 - 50)^2 /50 + (42 - 50)^2 /50 + (50 - c - 50)^2 /50 + (50 + c - 5)^2 /50
= (64 + 64 + c^2 + c^2)/50
= (64 + c^2)/25

これが「自由度3のカイ二乗分布」で
・上側確率が 0.01 になるのは　11.345
なので、
・サンプル平均が「50 に対して上側に外れる確率が 0.01」になるのは
　(64 + c^2)/25 > 11.345
→　64 + c^2 > 283.625
→　c^2 > 219.625
→　c > 14.82
・サンプル平均が「50 に対して下側に外れる確率が 0.01」になるのもこれと同様。

従って、棄却されない整数 (a, b) の組合せは
　b = a + 0～14
これに a > b の場合
　b = a - 1～14
も加えて「29 とおり」でしょうか。

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2023/12/01 19:30

解き方は既に書かれているので、それ以外のところを。

No.2 さんも No.3 さんも何故か上側確率 0.01 で棄却限界を求めていますが、本問は有意水準 0.02 なので、11.345 ではなく 9.837 が棄却限界となるので注意してください。

期待度数にあまりにも近すぎる場合を排除したい場合は、両側検定することもありえますが、普通は片側検定をするはずです。

この回答へのお礼

補足ありがとうございます。
検定についての理解が浅いので参考になりました。

お礼日時：2023/12/02 04:08

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/30 18:04

分割表の適合度検定ですから、

実際の頻度 58,42,a,b (ただし 58+42+a+b=200) が、
データ1,2,3,4の 4項目が一様に現れると仮定した場合の
頻度の理論値 50,50,50,50 からどれだけ離れているかを
χ^2検定すればいいですね。

比較対象となる分布が No.1 とは微妙に違うみたいですが、
計算は No.1 と全く同じになります。

a=50+c, b=50-c と置くと、
χ^2 = ((58-50)^2)/50 + ((48-50)^2)/50 + ((a-50)^2)/50 + ((b-50)^2)/50
　　= (64 + c^2)/25.
自由度が 4-1=3 ですから、
有意水準 0.01 の上片側検定で適合が棄却されるχ^2値は
χ^2分布表より χ^2 > 11.345 です。
ということは、検定にて適合しないとは言い切れない c の範囲は
(64 + c^2)/25 ≦ 11.34 すなわち |c| ≦ 14.8… となり、
整数値では -14 から 14 までになります。
この範囲の c で a,b はどれも非負整数値となっていますから、
不適解はありません。
(a,b) の組の個数は、c の個数と同じ 29個です。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
手に負えず諦めていた問題でしたが解き方が理解できました。

お礼日時：2023/12/02 04:20

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/29 20:14

合計が 200 なので

　58 + 42 + a + b = 200
→　a + b = 100
平均は
　200/4 = 50
ですから、a≦b として、c≧0 を使って
　a = 50 - c
　b = 50 + c
としても一般性を失いません。

この考え方でやってみたらどうですか？

これが一様分布かどうかをどう判定するのかよく分かりませんが。
どうみても「一様分布」ではないような。
どの程度のバラつきの範囲なら一様分布とみなす、という判定基準が必要ですね。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
実は訳あって問題中の全ての数値を二倍してあります。
テキスト的にはカイ二乗検定になるのかと思うのですが、χ＾2 3で表から得られる数値は大きすぎて全ての組み合わせを棄却できないものでした。

質問の度数の条件なら最大で100＾2乗通りあることになりそうですが、問題的にはそんなはずもないので、そうなるとどうしたものか…と思い質問した次第です。

お礼日時：2023/11/30 00:17