π＝４？√２＝２？

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質問者：wonderlasting
質問日時：2023/12/03 16:55
回答数：5件

極限値についての疑問がまたまた浮上してきました。
御存知の方も多いと思いますが、例えば、√２です。
「一片の長さが１の正方形の対角線の長さは当然、√２。そこで、正方形の隣り合う２辺を折り曲げて、角の点が対角線を２等分する点に来るようにする。これで対角線をそれぞれの斜辺とする二つの直角三角形が二つできることになる。これら二つの三角形の直角を挟む辺の長さの合計は、もともと、正方形の二辺を折り曲げただけだから、長さは２となる。これを今度は、二つの三角形それぞれについて繰り返していく。三回、四回と繰り返し、ｎ回後には、斜辺で対角線を２のn乗個に等分する三角形群ができるが、各々の三角形における直角を挟む二辺の長さの全合計は、ただ正方形の辺を折り曲げただけだから、2と変わりない。そこで、ｎ→∞に飛ばすと、三角形で構成される折れ線は対角線と重なるから、√２＝２となる」
という論法ですが、これは、御承知のように、ひっかけで、折れ線と対角線の間には、どんなに小さくとも三角形のいわば隙間があり、その面積は１/nに比例して、どんなにnを多くしても、0に近付くだけ。決して０そのものにはならない。故に、折れ線もどこまでも対角線に近付くが、決して対角線そのものにならないとなる。円周率πについても、半径２の円の四分円を書いて、直角をなす半径の線分二つを二辺とする正方形を描き、後は基本、対角線のときと同じやり方で、折れ線の操作によって、折れ線を弧の長さ、即ち、πに接近させていくということで、n→∞ではピッタリと折れ線と弧が重なり、π＝４となるという論法でも、結局、折れ線はどこまでも弧に近付くが、弧との間には三角形もどきの隙間があり、操作回数nを無限にしても、その面積は→０となるだけで、決して＝０にならないから、π＝４ともならない。ということでしょう。
つまり、n→∞での極限値は、あくまでその値に近付くということで、”＝”にはならないと解釈できます。では、０.９９９…はどうなのか？これも、１/１０を公比とする等比級数の極限値であるなら、
＝１ではなく、→１とすべきではないのでしょうか？
1/3も、=０.３３３…ではなく（それだと１＝０.９９９…となってしまう）→０.３３３…とすることになりますね。矢印の向きは逆の方が適切かもしれませんが。極限値への収束の速さが違うという指摘があるかもしれませんが、本来、収束の速さで、これは＝、これは→と分けられるものでしょうか？
あまり、気持ちよくないと仰る方もいるかもしれませんが、√２＝２やπ＝４よりましだと思うのですがどうでしょうか？
或いは、曲線や直線でも、折れ線による近似を用いてはその長さを定義しない、とするルールを適用すべきかもしれません。いや、既にあるのか。数学では、矛盾を回避するために、そのような計算や処理は行わないことにする、ということは決して咎められることではないでしょう。０での割り算を禁じたように。では、１/３や０.９９９…についてはどうでしょうか？やはり、どこまでも近付くが、”＝”にはならないということなのか？上記のルールで、一応、π＝４の問題は回避できるから、”＝”で結べばよいのでしょうか？それとも、→であることを頭の片隅に置いておいて、表記上は＝とするか。そっちの方が便利なことも多いし。また、以前にも提示した、［０.９９９…］は１か０か？という疑問についてはどうでしょうか？極限値の”＝”説なら、１とすることになるし、”→”説なら０とするべきか？
いや、”→”でも色々と問題がありそうだから、いっそ、０.９９９…についてはガウス記号はとらないことにするとルールを定める手もありそうですが…。
結局、極限値というのは、”＝”なのか、”→”なのか、どちらなのでしょう？（と疑問が再燃してしまったわけです）

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回答 (5件)

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No.5

回答者： Tacosan
回答日時：2023/12/05 21:59

「０.９９９…はどうなのか」を考えるためにはまず

そもそも「０.９９９…」とは何ぞや
をきちんと決めなければならない (「小数点のあとに無限に 9 を並べた数」などとぼけたおすようでは失格だ).

でもって「ふつうの考え方」で「０.９９９…」をとらえることにすると考え方 (視点) によって
・1 と等しい
・1 と等しくない (つまり 1 より小さい)
の両方の考え方ができるぞ. やったね.

なお最後の部分で「極限値というのは、”＝”なのか、”→”なのか、どちらなのでしょう？」と書いてあるが, この「”＝”」や「”→”」はどのように定義しているのかな?