簡単な比の問題教えてください

箱に赤と白のボールが2：3の割合で入っている。白のボールを6個加えたところ、箱の中の赤と白のボールの割合は3：5になった。この箱に入っている赤のボールは何個か。

答え36個と思いますが
質問1
もし、加えた6個の色がわからなかった場合解くことできますか？
質問2
また、加えた玉の条件をどんどん増やして
8個加えた場合の比率はいくら
10個加えた場合〜
とどんどん増やしても永久に解けませんか？

よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます
  おおかた理解できたのですが
  (n,r) = (10,1) + (8,-1)j,
  はどのように導かれるのですか？
  ありがとうございます

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/12/24 10:07

No.9 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/19 18:25

赤 2n, 白 3n 個に白 6 個を加えると、

ボールは赤 2n = 3k, 白 3n + 6 = 5k 個になります。
連立一次方程式を解いて、n = 18, k = 12.
赤のボールは 2n = 36 個ですね。

加えた 6 個が赤 r, 白 w 個だった場合、
r + w = 6, 2n + r = 3k, 3n + w = 5k.
4元3連立で式が足りませんが、整数解問題なので
不定方程式として解けそうです。
連立一次方程式から k, w を消去して、n + 8r = 18.
これを満たす整数は (n,r) = (10,1) + (8,-1)j,
j は任意の整数です。
n, r が非負整数であることを考慮すると、
(n,r) = (2,2), (10, 1), (18,0) になります。
3 通りのうちどれかが答えかは、決められませんが。

8 個加えた場合、10 個加えた場合も、
同様に解くと有限組の解が得られます。
その中で共通する n の値を探すと、
解が 1 組になることもありそうです。
ちゃんと答えが出るように考えて問題を作らないと、
すぐに「解無し」になってしまいそうですけど。

この回答へのお礼

非常に一般化された応用範囲の広い解答ありがとうございます
参考にさせていただきます

お礼日時：2023/12/25 15:52

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/24 13:16

＞ (n,r) = (10,1) + (8,-1)j,

＞ はどのように導かれるのですか？

n + 8r = 18 を見て、 (n,r) = (10,1) という解がある
ことはパッと見に明らかだろうと思います。
10 + 8・1 = 18 です。
ふたつの式を両辺引き算して定数項の 18 を式から消すと、
(n-10) + 8(r-1) = 0,
(n-10) = -8(r-1) です。
下の式の両辺は、整数で、8 の倍数ですね？
その値を 8j (j は整数) と置くと、
(n-10) = -8(r-1) = 8j と書けます。
この式を変形すると、
n = 10+8j, r=1-j,
(n,r) = (10,1) + (8,-1)j となります。

この回答へのお礼

度々ありがとうございます

お礼日時：2023/12/24 16:59

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/19 19:53

(質問1)

もし、加えた6個の色がわからなかった場合の答えは
36個
または
20個
または
4個
と
解くことができます

この回答へのお礼

補足ありがとうございます

お礼日時：2023/12/25 15:24

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/19 17:19

赤がx個,白がy個

x:y=2:3
3x=2y
赤をa個,白をb個加えると
a+b=6
x+a:y+b=3:5
5(x+a)=3(y+b)
5x+5a=3y+3b
5x+5a=3y+3(6-a)
5x+5a=3y+18-3a
5x+8a=3y+18
10x+16a=6y+36
9x=6y
10x+16a=9x+36
x+16a=36
x=36-16a=4(9-4a)>0
a<2+1/4
a≦2
2y=3x=12(9-4a)
y=6(9-4(6-b))=6(9-24+4b)=6(4b-15)

x=36-16a=4(9-4a)
y=6(4b-15)

赤20個白30個の場合
20:30=2:3
赤1個白5個加えると
20+1:30+5=21:35=3:5

赤4個白6個の場合
4:6=2:3
赤2個白4個加えると
4+2:6+4=6:10=3:5

この回答へのお礼

端的な回答ありがとうございます

お礼日時：2023/12/25 15:25

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/19 15:30

> 質問1

最初に入っていたのは赤が16a + 4個で白が24a + 6個、追加したのは赤が2 - a個で白が4 + a個であることが容易にわかりますから、解は
(a=0)赤4個白6個入っていたところに赤2個白4個を加えた
(a=1)赤20個白30個入っていたところに赤1個白5個を加えた
(a=2)赤36個白54個入っていたところに赤0個白6個を加えた
の3通りだけです。
　
> 質問2

同じことで、（解がない場合も含めて）当然解けます。

この回答へのお礼

質問②も考えてみます
ありがとうございます

お礼日時：2023/12/25 16:11

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/19 15:23

>加えた6個の色がわからなかった場合

加えるのは一色なのか、赤白混じって良いのかで答えが割れてますね。

まあお遊びなんでどうでもよい気がしますが
質問としては不明瞭。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/19 13:54

＞加えた6個の色がわからなかった場合解くことできますか？

問題文の 前提の条件が 同じなら、
箱の中のボールの割合が 白の方が 増えていますから、
白のボールを 加えたことが 分かります。

＞加えた玉の条件をどんどん増やして・・・

この場合は 増やした後の 割合が分かっていれば、解けます。
勿論 ボールの数は 正の整数ですから、どんな数を増やしても
答えが 出るわけでは ありません。

この回答へのお礼

考えてみます
ありがとうございます

お礼日時：2023/12/25 15:25

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/19 13:32

皆さんの言うように結果としての確率の変化から色の配合割合がわかるので

かなり絞られてくるでしょう！

この回答へのお礼

参考にさせていただきます
ありがとうございます

お礼日時：2023/12/25 15:26

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/19 13:27

赤=2x →3y

白=3x →5y

2x=3y ∴x=3y/2
5y-3x=6
∴5y-3(3y/2)=y/2=6 ∴y=6*2=12

赤=2x=3y=3*12=36 個

質問1　色は2つなので　それぞれで場合分けすればいい！
質問2　上のように　方程式をたてて解けばいい！

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/19 12:59

赤の割合が減るから

加える個数の中で白の個数の方が多い筈。
また最初の赤の数が多いと全部白でも3:5に到達出来なくなるので
n個加えるとするとnに対して赤の最大個数がきまります。
これは全部白での赤の個数(端数切り上げ)を求めれば良い筈。

後は総当たりで3:5になる場合を探せば求まるでしょう。
解が無い場合も複数ある場合も有りそう。

この回答へのお礼

考えてみます
ありがとうございます

お礼日時：2023/12/24 08:33