数学オリンピックの問題

相異なる3点 D,B,Cは同一線上にあり，DB=BC=2である。点AはAB=AC を満たし、直線 AC と直線 DC にそれぞれA、Dで接する円Tが存在するとする。Tと直線ABの交点のうちAでない方をEとし、直線 CE とTの交点のうちEでない方をFとするとき、線分 EFの長さを求めよ。

円の接線なので,AC=4,
方べきの定理IIより,CE • CF= AC^2
　　　　　　　　　CE • CF=16
までは考えたのですが、これ以降の考えが分かりません。
分かる方、よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2024/01/06 18:18

△AEFと△EBCの面積比はCからABへの高さが共通なので

線分AE:EB に比例する　同様に
△AECと△FAEの面積比はAから線分FCへの高さが共通なので
線分CE:FE に比例する　よって　△AECの面積が(同じで)共通なので
△AFEと△CBEは
対頂角 ∠AEF=∠CEB
AE:EB=FE:CE となり△AEF∽△CEB から　△ABCも相似なので
AC=AB=4
CB=CE=2
BC=2 BE=2*2/4=1
AE=AB-EB=4-1=3 ∴EF=3*2=6 または　EF=CE*AE/EB=2*3/1=6

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/07 05:20

D=(0,0)

B=(2,0)
C=(4,0)
円Tの半径をr
とすると
A=(3,√15)

(√15-r)^2+9=r^2
-2r√15+24=0
24=2r√15
12/√15=r

E=(x,y)≠Aとすると

x^2+(y-12/√15)^2=144/15
x^2+y^2-24y/√15=0
y=(√15)(x-2)
y^2=15(x-2)^2
x^2+15(x-2)^2-24(x-2)=0
x^2+15(x^2-4x+4)-24x+48=0
16x^2-84x+108=0
4x^2-21x+27=0
(4x-9)(x-3)=0
x=9/4

|CE|^2
=(x-4)^2+y^2
=(x-4)^2+15(x-2)^2
=(9/4-4)^2+15(9/4-2)^2
=4

∴
|CE|=2

これを|CE||CF|=16に代入すると

2|CF|=16
|CF|=8

∴
|EF|=|CF|-|CE|=8-2=6

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/01/06 18:22

接弦定理から　∠AFE=∠BAC が抜けていた！

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/01/06 18:09

> … 円Tが存在するとする。

という言い回しがトリッキー。
　なぜなら、テキトーに「相異なる3点 D,B,Cは同一線上にあり，DB=BC=2である。点AはAB=AC」を作図したって円Tは大抵存在しない。

　円Tが存在するためには、∠ACD の大きさをθとして
　　cosθ = 1/4
でなくちゃいけない。このとき、円の中心をTとすると、∠DTA = π-θ。
というわけで、
　中心Tを決めて、円Tを描く。
　円Tの円周上に点Dを定め、Dにおける円Tの接線を描く。
　円Tの半径の1/4の長さだけ、線分DTをT側に延長した点をXとする。
　Xを通るDTの垂線と円Tとの交点のひとつをAとする。
　Aにおける円Tの接線とDにおける円Tの接線との交点をCとする。
　DCの中点をBとする。
　長さの単位を、DB=BC=2 となるように定める。
とやれば、ようやく

> 相異なる3点 D,B,Cは同一線上にあり，DB=BC=2である。点AはAB=AC を満たし、直線 AC と直線 DC にそれぞれA、Dで接する円Tが存在する

という状態になる。

No.2 回答者： 一票の格差に反対 回答日時： 2024/01/06 15:03

難しい問題は全て、AIが教えてくれます。

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2024/01/06 12:59

とりあえず、円の中心点Oを書いてみましょう！