写真の積分についてですが、模範解答では右のように-1とxをばらしてから積分していて、自分は左のように

写真の積分についてですが、模範解答では右のように-1とxをばらしてから積分していて、自分は左のようにそのまま積分をしたところ答えの結果が食い違ってしまいました。
左のやり方はどこが間違っているのでしょうか？解説お願いします。

補足:kは自然数です。
右の最後の（）の中は-1です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/16 20:40

(-x)^k

を微分すると
k{(-x)^(k-1)}(-1)
-k(-x)^(k-1)
になるから

(-x)^(k-1)の積分は{(-x)^k}/k はなく{(-x)^k}/(-k)

(-x)^1=-x の微分は-1 だから(-x)^0=1の積分は(-x)/(-1)=x
(-x)^2=x^2の微分は2xだから(-x)^1=-xの積分は(-x)^2/(-2)=-x^2/2
(-x)^3=-x^3の微分は-3x^2だから(-x)^2=x^2の積分は(-x)^3/(-3)=x^3/3
…

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
sin(2x)の積分時に係数として、1/2をつけるようなものですね！うっかりしてました。ありがとうございます。

お礼日時：2024/02/16 21:10

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/16 18:40

= - [X^k /k] 0→　-1

訂正します
= - [X^k /k] 　-1→　0

= - (-1)^k /k
= ( - 1 )^k /k (-1)^1
=( -1)^k-1 /k
=右辺　　　　　
【置換積分】

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/16 18:22

X= -x とおけば　dX/dt= - dx/dt　　∴dx= - dX

または　dX/dx= -1 ∴　dx= - dX
x;0→１　なら　X;0→　-1
故に
∫0→1　(-x)^k-1 dx=∫ 0→ - 1 X^k-1 ( - dX)
= - [X^k /k] 0→　-1
= - (-1)^k /k
= ( - 1 )^k /k (-1)^1
=( -1)^k-1 /k
=右辺　　　　　
【置換積分】

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/16 17:40

(-x)^(k-1)の積分は{(-x)^k}/k はなく{(-x)^k}/(-k)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なぜ、マイナスが必要なのでしょうか？

お礼日時：2024/02/16 19:50

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/16 17:39

左が間違ってる。

d(-x)^k/dx=k(-x)^(k-1)・(-1)
だから(-1)が消えてる。