代数イデアル

Question

2変数多項式環R[x,y]のイデアル(x^2,xy)は素イデアルではない
これはどのように示したらよいのでしょうか
よろしくお願いします

ありものがたり · Accepted Answer

環の部分集合 { x^2, xy } が生成するイデアルは質問文中のように (x^2,xy) と表記するのが通常だが、以下の説明では、計算式の小括弧と紛らわしいのでと書くことにする。標準的でないのは御免なさい。イデアル計算にある程度慣れている人なら、今回の質問は = + 　　　　= + 　　　　= ( + ) 　　　　= だけで済んでしまう話かもしれない。しかし、この例題は出題意図として、イデアルにあまり慣れていない人向けの練習問題という性格が強いと考えて、定義に即して素朴にやってみる。話題に登場する各イデアルは、 = { (x^2)f+(xy)g ｜ f,g∈R[x,y] }, = { xu ｜ u∈R[x,y] }, = { xv+yw ｜ v,w∈R[x,y] } と書ける。イデアル積の元 a はの元との元の R[x,y] における積の有限和であり、 a = ∑(x　u_i)(x　v_i + y w_i), ∑ は i に関する総和, u_i, v_i, w_i ∈ R[x,y] と書ける。この式を変形すると a = (x^2)∑(u_i)(v_i) + (xy)∑(u_i)(w_i), ∑(u_i)(v_i), ∑(u_i)(w_i) ∈ R[x,y] とも書けるので、a ∈ である。すなわち ⊆ . 一方、の元 a は a = (x^2)f + (xy)g, f,g ∈ R[x,y] と書ける。a = (x)(xf+yg) と変形できるので、 x ∈ , xf+yg ∈ より a ∈ である。すなわち ⊇ . 以上より結局、 = が成り立つ。は、イデアルの積に分解できるので、素イデアルではない。

ありものがたり · Answer

はは、失敬失敬。 No.2 は書き間違いがあったね。前半を見てくれれば意図は判ると思うのだけれど... --------------------------------------------------------------------- a = (x^2)∑(u_i)(v_i) + (xy)∑(u_i)(w_i), ∑(u_i)(v_i), ∑(u_i)(w_i) ∈ R[x,y] とも書けるので、a ∈ である。すなわち ⊆ . a = (x)(xf+yg) と変形できるので、 x ∈ , xf+yg ∈ より a ∈ である。すなわち ⊇ . 以上より結局、 = が成り立つ。 --------------------------------------------------------------------- に訂正。

確変 · Answer

こういった丸投げ質問は好ましくなく, R に関する説明も無い.

それゆえ, 回答するのは不本意だが, <x^2,xy> は素イデアルでなく, 準素イデアルですらない.

＞これはどのように示したらよいのでしょうか
難しく考えるな.
普通に <x^2,xy> が素イデアルの定義を満たしていないことを示せばいい.

ちなみに, <x^2><xy> = <x^2,xy> は成り立たない.
例えば, x^2 ∈ <x^2,xy> は正しいが, x^2 ∈ <x^2><xy> は正しくない.
読んでいて腹が立つ内容だが, 一つだけ有益情報を提供している.
多項式環を学ぶとき, 今回のイデアルは (x^2,xy) と書くよりも, <x^2,xy> と書くほうがいい.

mtrajcp · Answer

x∈R[x,y]-(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素ではない
y∈R[x,y]-(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素ではない
xy∈(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素である
から
イデアル(x^2,xy)は素イデアルではない

代数イデアル

環の部分集合 { x^2, xy } が生成するイデアルは

はは、失敬失敬。

こういった丸投げ質問は好ましくなく, R に関する説明も無い.

x∈R[x,y]-(x^2,xy)はイデアル(x^2,xy)の要素ではない

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