3文字の対称式

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1,xyz=1を満たす実数x,y,zにたいして次の式の値を求めよ。

(1)1/x+1/y+1/z (2)x^2+y^2+z^2　(3)x^3+y^3+z^3

長い時間考えたのですが、x+y+zを分数に変えてみたりいろいろしたのですが、数学が苦手なためうまくいきませんでした。。
答えはそれぞれ
(1)2√2+1 (2)7(3)10√2+1　です。

解法がまったくといってよいほど思い浮かびません。

教えてください。よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： happy2bhardcore 回答日時： 2008/01/03 19:04

1→分数にすればいいです

与式＝（x+y+z）/xyz
＝(2√2+1)/1
＝2√2+1

2→問題が二乗してあるので、なんとなく与えられた条件を二乗してみればできそうな気がしませんか？
与式＝（x+y+z）^2 -2(xy+yz+zx)
＝（2√2+1）^2-2(2√2+1)
＝7

3→x^3+y^3+z^3= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-yz-zx-xy)+3xyzを使ってみてください

この回答へのお礼

happy2bhardcoreさん
ありがとうございます。

少しずつ勉強していきたいと思います。
参考になりました。

また、何か今後ありましたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/01/03 20:50

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/03 19:27

>与式＝（x+y+z）/xyz

いや明らかに違うし。

>3→(略)を使ってみてください
せっかく(2)を二乗で求めたんだから、そこは三乗するところでしょう。

この回答へのお礼

koko_u_さん
ありがとうございます。

細かいところをフォローしてくださいまして感謝です。

また、何かありましたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/01/03 20:51

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/03 20:01

（3）だけ書いときます。

簡単のために、x+y+z＝xy+yz+zx＝kとすると、xyz＝1よりx、y、zはt＾3-kt＾2＋kt-1＝0の3つの実数解。
（この方程式が因数分解できることは無視しよう）
従って、x＾3-kx＾2＋kx-1＝0、y＾3-ky＾2＋ky-1＝0、z＾3-kz＾2＋kz-1＝0が成立する。
x＾3＝kx＾2-kx＋1＝0、y＾3＝ky＾2-ky＋1＝0、z＾3＝kz＾2-kz＋1＝0であるから、これらの3辺を加えると　
x^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝k＾3-3k＾2＋3＝（k＾2）*（k-3）＋3＝10√2+1。

この回答へのお礼

take_5さん
ありがとうございます。

ゆっくり解説してくださいました回答をみて、といていきたいと思います。
また、何か今後ありましたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/01/03 20:52

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/03 20:09

又、ミスった。

。。。。笑い

＞x＾3＝kx＾2-kx＋1＝0、y＾3＝ky＾2-ky＋1＝0、z＾3＝kz＾2-kz＋1＝0であるから、これらの3辺を加えるとx^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝k＾3-3k＾2＋3＝（k＾2）*（k-3）＋3＝10√2+1。

　　　　　　　　　　　　↓　

x＾3＝kx＾2-kx＋1、y＾3＝ky＾2-ky＋1、z＾3＝kz＾2-kz＋1であるから、これらの3辺を加えるとx^3+y^3+z^3＝k（x^2+y^2+z^2）－k（x+y+z）＋3＝７k－k＾2＋3＝10√2+1。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2008/01/03 20:53

No.5 回答者： mintE 回答日時： 2008/01/03 22:07

No1さんの（1）は

1/x+1/y+1/z　＝(xy+yz+zx)/xyz
の誤りですね。

＞せっかく(2)を二乗で求めたんだから、そこは三乗するところでしょう。
（2）を二乗でといてあるのであるならば、（x+y+z）を三乗して帳尻合わせるより、1さんの方法のがお勧めですね。三乗は計算の練習になりますが

この回答へのお礼

mintEさん
ありがとうございました。
参考になりました。

今後何かありましたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/01/04 15:08

No.6 回答者： mintE 回答日時： 2008/01/03 22:18

#5です。

＞1/x+1/y+1/z　＝(xy+yz+zx)/xyzの誤りですね。
xy+yz+zx =x+y+zという条件があるので、No1さんのは誤りではありませんでした。訂正します

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2008/01/04 15:09

No.7 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/03 22:52

>（x+y+z）を三乗して帳尻合わせるより、1さんの方法のがお勧めですね。

ANo.1 氏の解法だと、公式を知っていないと解けないように誤解されそうじゃないですか。
(2)が二乗して解けたのであれば、(3)も三乗すれば解けるのではないかと発想して欲しいですね。

>xy+yz+zx =x+y+zという条件があるので、No1さんのは誤りではありませんでした。
いきなり与式＝(x+y+z)/(xyz) と解答欄に書かれていたら私なら減点しますけど。

この回答へのお礼

発想できるよう、いっぱい勉強したいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時：2008/01/04 15:09