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次の証明方法を教えてください
掛け算した結果のあまりは、もとの数のあまり同士を掛け算した結果に合同である

質問者からの補足コメント

  • すみません。少し書き間違えていました。
    x≡a(mod n) → x=nα+a
    y≡b(mod m) → y=mβ+b
    (nα+a)(mβ+b)=nαmβ + nαb + amβ + ab となって式がまとめられません。
    この場合は成り立たないのでしょうか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/01/08 09:08

A 回答 (3件)

>>4行目をやさしく教えてください



xy=(nα+a)(nβ+b)=nα・nβ + nα・b + a・nβ + a・b =
n(α・nβ + α・b + a・β) + a・b

(α・nβ + α・b + a・β) は整数だから●と置くと
n(α・nβ + α・b + a・β)=n●

∴xy=n● + a・b
xyをnで割ると商が整数●で余りがa・b と言う意味。

----------------------------------------------
x≡a(mod n) → x=nα+a
左辺はxをnで割ると余りaと言う意味の記号≡
右辺はxをnで割ると商がαで余りがa を表す。
余りだけに着目すると x≡a(mod n) 、 x=nα+a は同じ意味。
(7≡1(mod 3) → 7=3・2+1)

y≡b(mod n) → y=nβ+b も同じで
余りだけに着目すると x≡b(mod n) 、 x=nα+b は同じ意味。

xy=n● + a・b も余りに着目すると
xy≡ab(mod n) 、 xy=n●+a・b は同じ意味。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

丁寧な説明でありがとうございます。
理解できました。
次のように割る数がn,mのように異なる場合は成り立たないのですか?
x≡a(mod n) → x=nα+a
y≡b(mod m) → y=nβ+b

お礼日時:2017/01/08 09:02

>>次のように割る数がn,mのように異なる場合は成り立たないのですか?


x≡a(mod n) → x=nα+a
y≡b(mod m) → y=nβ+bでは無く、y=mβ+bだから、成り立たない。
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この回答へのお礼

「掛け算した結果の同じ除数でのあまりは、もとの数のあまり同士を掛け算した結果と同じ余りになる」ということですね。
ありがとうございます。

お礼日時:2017/01/08 13:43

x≡a(mod n) → x=nα+a


y≡b(mod n) → y=nβ+b
とすると
xy=(nα+a)(nβ+b)=n●+a・b
∴xy≡a・b(mod n)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
4行目をやさしく教えてください

お礼日時:2017/01/07 20:49

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