eの偏微分

∂（e^xy）/∂x=ye^xy
はどうしてyが前に出るんですか
微分しても計算結果は変わらないのがeではないのですか

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/22 10:11

少し追記。

指数関数については「微分しても形が変わらない」と言う場合がありますがこれについて。

まずは指数関数を実際に微分してみます。

(e^x)'=e^x

は既知の定理として、関数

y=e^(kx)

を微分する場合を考えます。まず

kx=u

と置くと

y=e^u

dy/dx=(dy/du)(du/dx)

となり、また

dy/du=e^u

du/dx=k

となるので

dy/dx=ke^u=ke^(kx)

御覧のように微分すると元の関数とは違う関数になりましたが、指数関数の部分

e^(kx)

に注目してみると、指数の底が変わったりxが二乗になったりする事はなく、また三角関数等他の形の関数に変わるわけでもありません。つまり指数関数の本体とも言うべき部分は微分しても何も変わっていない事になります。なので指数関数についての「微分しても形が変わらない」と言った説明は「微分しても指数関数の本体の部分は変わらない(三角関数等になるわけではない)」と言った意味だと考える所だと思います。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/21 17:50

恐らくですが質問者様は「微分しても計算結果は変わらない」と言うのをお題目のように何も考えずに覚え込んでいただけなのでは?

「微分しても計算結果は変わらない」と言うのはあくまでもe^xだけです。e^(kx)のような形になったら当然計算結果は変わります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/21 17:05

xy = z と置いて、合成関数微分を使うと、

∂e^(xy）/∂x = ∂e^z/∂x
　　　　　　= (de^z/dz )(∂z/∂x)
　　　　　　= (e^z) y
　　　　　　= y e^(xy).
e^z の右にあった y が左へ移動したのは、
掛け算の交換法則。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/21 16:12

e^(xy)

を
xy で微分しても計算結果は変わらないけれども

e^(xy)
を
x で微分したら計算結果は変わる

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/21 14:53

xy=uとして

>微分しても計算結果は変わらないのがe
なので
de^u/du=e^uを使って
かつ合成関数の微分則を使うと
∂e^u/∂x=∂e^u/∂u・∂u/∂x=e^u・y=ye^(xy)

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/21 14:02

前半部分訂正します

↓
↓
↓

例えば、yを2に置き換えると
(d/dx)(ｅ^2x)
＝(2x)'・(ｅ^2x)　←←←訂正箇所
＝2・(ｅ^2x)
ですよね
ご質問の偏微分でも要領は同じ
指数部分が単なるxではなくて、xy乗なので
xyをxで偏微分したときのyが先頭に出て
求めるべき偏微分＝y・ｅ^xy
となってます

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/21 14:00

例えば、yを2に置き換えると

(d/dx)(ｅ^2x)
＝(2y)'・(ｅ^2x)
＝2・(ｅ^2x)
ですよね
ご質問の偏微分でも要領は同じ
指数部分が単なるxではなくて、xy乗なので
xyをxで偏微分したときのyが先頭に出て
求めるべき偏微分＝y・ｅ^xy
となってます

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/21 13:25

「x で偏微分」するときには「y は定数とみなす」からね。

それが「偏微分」ですよ。