物理学にでてくる 位置ベクトル 速度ベクトル は 幾何ベクトルなのですか？ また なぜ 幾何ベクトル

物理学にでてくる 位置ベクトル 速度ベクトル は 幾何ベクトルなのですか？
また なぜ 幾何ベクトル は座標系に依存しないのですか？
数ベクトル と 幾何ベクトル の違いもよく分かりません． 幾何ベクトルに座標を敷いたら数ベクトルになるのですか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/18 09:57

物理で座標系の話を学ぶとき、ぶち当たる問題ですよね。

異なる基底 a1, a2, a3 と b1, b2, b3 が有ると
同じベクトルを
ベクトル
f = c1a1 + c2a2 + c3a3
f = d1b1 + d2b2 + d3b3

と二通りに表すことができます。

f の成分 (c1, c2, c3) と (d1, d2, d3) は異なりますが
c1a1 + c2a2 + c3a3 　と d1b1 + d2b2 + d3b3 は
「同じ」 f を表すというのが f が座標に依存しないということ。

f という空間ベクトルは基底を定める以前から存在する
と考えられてる。これを幾何ベクトルと呼ぶとか呼ばないとか(^^;

ベクトルの成分　(c1, c2, c3) と (d1, d2, d3)　は
「同じ」ベクトル f の基底の異なる表現に過ぎないということです。

じゃあ、a1, a2, a3 と b1, b2, b3 はどう定義するの
という話に行き着いてしまうのですが、「神の基底がある」
でお茶を濁すのが普通かな？

まあ最初に何でもよいから宇宙に共通の基底を定めておけば
うまくゆくのは本当(^^;

私はいつもこの辺で思考を停止してます。それで全然困らないから。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/16 11:21

「幾何ベクトル」という種類のベクトルがあるわけではありません。

成分が実数のベクトルを図示したものが幾何ベクトルです。
物理学にでてくる(ということは、実３次元空間中の)位置ベクトル
速度ベクトルは、幾何ベクトルとして図示することができます。
これは、ベクトルの分類ではなく、絵の書き方の話です。

座標系の入ってない紙の上にも、矢印を書くことはできますし、
その上で、２つの矢印が平行移動で重なるか重ならないかを
判定することもできます。その意味で、幾何ベクトルは座標系に
依存しません。ただし、その幾何ベクトルを成分表示しようとしたら、
座標系が必要になります。座標系に依存しているのは、
ベクトルではなく、それの成分です。同じ幾何ベクトルでも
座標系が異なれば、成分表示は異なります。

「数ベクトル」というのは、定義のよく判らない言葉です。
そもそも「数」という言葉の定義が、数学には無いのですが...
ベクトル空間は、加法とスカラー倍によって定義されますが、
スカラー倍の「スカラー」は、何かしらの体の要素です。
「体」というのは、その中で加減乗除が行える集合のこと
ですから、スカラーは「数」だといってかまわないように思います。
ベクトル空間に基底が存在することは証明されていますから、
すべてのベクトルは、「数」によって成分表示が可能です。
その意味では、「ベクトル」＝「数ベクトル」だと言えます。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/15 22:52

1.

数ベクトルは要素が数だから定義は明確ですが、幾何ベクトルはよく
分からない。数ペクトルをユークリッド数空間に対応させて幾何ベク
トルと言っている気がする。つまり、同じものと考える。

さらに位置も速度も座標系が定まらないと意味が無い。

2.
したがって、位置ベクトルも速度ベクトル も幾何ベクトル。

3.
>幾何ベクトルに座標を敷いたら数ベクトルになるのですか？<
●幾何ということは座標空間を想定している。

4.
>幾何ベクトル は座標系に依存しないのですか？<
●意味がよくわからないが、位置も速度も座標系に依存する。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/06/15 22:44

幾何ベクトルと言うのはいわゆる矢線ベクトルの事でしょうか。

表現の違いだけで全く同じものです。でないと矢線ベクトルか数ベクトルかをいちいち区別して考えないといけなくなります。