S₁=?、S₂=?、S₃=?

前々回、前回ともに、各種叱咤勉励をいただき、それに励起されて、今一度、最終的なところまで、計算の可能性について問うてみます。以下は、厳密性は考慮せず、あくまで直観的なやり方で進めていきます。
S₁＝1-1+1-1+…、S₂=1-2+3-4+5-6+…=S₁/2、S₃=1+2+3+4+5+…=-S₁/6
とするところは前回と同じです。
そして、S₁＝1+1+1+…+(-1+1)+(-1+1)+…or=-1-1-1-…+(1-1)+(1-1)+…とすることで、S₁を任意の整数と計算できるとします。また、NS₁=(N-M)S₁+MS₁　N,M:任意の自然数とし、(N-M)S₁のS₁を０とすることで、NS₁=MS₁とし、左辺または右辺のS₁を１、残りのS₁を任意の整数nとすることで、S₁=nN/M or nM/Nとすることで、任意の有理数を表せるとします。この場合、一つの数式でS₁の値を複数使うことを許可していることになりますが、大目に見ることにします。すると、S₂、S₃も任意の有理数と計算できることになる。
当然（？）ここまで来たなら、任意の実数を表せないか？と考えるでしょう。そこで次のように考えてみました。
S₁=S₁+(-S₁+S₁)+(-S₁+S₁)+…=S₁-S₁+S₁-S₁+S₁-S₁+…とし、この式の右辺の各S₁に適当に有理数を代入していくのです。例えばS₁=1/1-1/2+1/3-1/4+…という具合に。これは条件収束する無限級数と形の上では同じであるため、任意の実数にすることができます。すると、S₂やS₃も任意の実数値に計算できることになる。つまり、S₃=1+2+3+…をπやe、γなどにできるわけです。
当然、こんな計算は論外という批判が出るでしょう。一つの数式上で、S₁に２つ３つの値を同時に取らせるだけでも違反なのに、今度は無数に値をとらせるわけですから、言語道断といわれるかもしれません。が、どうせ、２つ、３つ異なる値をとらせるなら、無数の値にしたって大して事情は変わらないと思うのですが、どうでしょうか？やはり、大違いとなるのでしょうか？
ここまで来たからには、最後の一押し。任意の実数ときたら、あとは虚数も表したいと思うのは人情というもの。そこで、悪乗りしてこのように考えました。
S₁²=S₁・S₁と考えて、右辺の 各S₁に1と-1をそれぞれ代入すると、S₁²=-1となり、S₁=±iとなります。さらに、S₁に36と-1を代入すると、S₁²=-36で、S₁=±6iとでき、-6iの方をS₃=-S₁/6に代入すると、S₃=1+2+3+…=i、つまり、自然数をどこまでも足していくと、虚数iとなる！………数学の無限の可能性を信じたい。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/07 16:26

前回回答したように、条件収束するが絶対収束はしない級数は、

項の並べ替えによって、任意の値へ収束する級数に作り換えることができます。
あなたの計算方法は、ナンデモアリ過ぎて、結局なんでもないのです。