至急 Z/nZにおいて例えば10÷m（mの数字は何でもいいです）というのはどうやって求めるのでしょう

至急
Z/nZにおいて例えば10÷m（mの数字は何でもいいです）というのはどうやって求めるのでしょうか？求め方が知りたいです

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 14:15

回答したほうの質問を削除されてしまったので、

もう一度書いておきます。二度手間で、正直面倒くさいのですが。

剰余環 Z/nZ において 10÷m ≡ x ということは、
10 ≡ mx (mod n) だということ。
10 = mx + ny {yは整数} とも書けますね。

この形の方程式を「一次不定方程式」といって、
解き方はいろいろな本やネットにも出ています。
成書を一度通読してほしいのですが、
すこし説明はしておきましょうか。

mx + ny = 10 {x,yは整数} を解くには、まず、
左辺の係数 m, n の最大公約数を互除法を使って求めます。
m= 3, n = 14 の場合でやってみましょうか。
14 を 3 で割ると、余りは 2。　14 = 3・4 + 2.
３ を ２ で割ると、余りは １。　３ = ２・１ + １.
2 を 1 で割ると、割り切れる。
割り切れたときの除数 1 が、 3, 14 の最大公約数です。

途中の割り算を下から上へたどって、余りを代入していくと、
1 = 3 - 2・1
　= 3 - (14 - 3・4)・1
　= 3・(1 + 4) - 14・1
　= 3・5 + 14・(-1).
となります。これの両辺を 10 倍すると、10 = 3・50 + 14・(-10).　←[1]
x = 50, y = -10 が 3x + 14y = 10 の解の一例　←[2]
であることが判ります。

[2] - [1] を辺々引き算すると、式は 3(x - 50) = -14(y + 10)
と変形できます。これの両辺が 3, 14 の公倍数であることから
3(x - 50) = -14(y + 10) = (3・14)k {kは整数} と置けます。
式を変形して、
x = 50 + 14k,
y = -10 - 3k.
すなわち
x ≡ 50 (mod 14).
最後は、 x ≡ 8 (mod 14) に書き換えたほうが上品かな？

途中、[1]式を作る操作で、 3x + 14y = 10 の定数項 10 が
3, 14 の最大公約数の倍数である必要があった
ことには注意しておきましょう。
そうでない場合には、10÷m ≡ x (mod n) には解は存在しません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 13:48

「Z/nZにおいて」というのは、

剰余環 Z/nZ における計算では... という意味でしょうね。
↓に回答しておきました。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13877915.html

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/29 11:34

「Z/nZ」とは [nZ分の Z] と云う意味で良いですね。

ならば nZ≠0 の筈ですから、分母子を Z でわって 1/n ですが。
「10÷m」は 10 を m 等分する と云うことです。