(2)^1/3が作図不可能であることを体論を用いて証明するにはどのような方針で行えば良いのでしょうか

(2)^1/3が作図不可能であることを体論を用いて証明するにはどのような方針で行えば良いのでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/01 08:17

「体論を用いて」って書いてるってことは、実は解ってて聞いてるよね。

まず、「作図可能」とは何か、定義を明確にする。
通常、
作図された２点を結ぶ直線を描くこと
作図された点を中心とし作図された点を通る円を描くこと
描かれた直線または円どうしの交点を作図された点とみなすこと
のみが許され、これを有限回行って
作図された2点を結ぶ線分の長さを作図された数とする。

これにより作図される数は、
有理数体に次数2の代数拡大を有限回施した体の元になる。

一方、有理数体に 2^(1/3) を添加する拡大は次数３であるため、
上記の拡大体に 2^(1/3) は入り得ない。

...って、やる。