数列の問題で教えて下さい

添付した数列の問題ですが、（２）で
Xnの式が　Xk＝　{2^p - 2^(k-1) - 1}　/　（2^p +1）
（　あるいは　１－　{2^(k-1）/（2^p+１）}　）
と推測されるのは計算してわかるのですが、ここでｋの範囲を設定
するのに２≦k≦p+1とするのがいまいち理解できません。
X2からこの式になるので2以上はわかるのですが、
2≦kだけではなぜダメなのでしょうか。ｐは2以上の自然数なので
2≦kだけでもp+1は含まれているのではないでしょうか。
もちろんX(p+１)=X1を証明するのでp+1までやれば十分なのは
わかりますが、p+1より上の数字についても証明してかまわないのでは
ないでしょうか。いくつかの解答も２≦k≦p+1となっているので
こちらが正しいのは知っているのですが、
どなたか説明していただければ。よろしくお願い致します。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/12 13:48

漸化式に絶対値が使ってあるよね。

X(k) = { 2^p - 2^(k-1) - 1 }/（2^p + 1) は
X(n+1) = 2X(n) - 1 の解なので、
X(n) ≧ 1/2 の範囲でしか
X(n+1) = ｜ 2X(n) - 1 ｜ の解にはならない。

X(n) ≧ 1/2 となるのは n ≦ p の場合だから、
X(k) = { 2^p - 2^(k-1) - 1 }/（2^p + 1) という解は
k ≦ p+1 でしか当てはまらない。

この回答へのお礼

そうですね。p+１を超えるとたしかに、また負に戻ります。
ありがとうございます。（１）で循環することを確認したのに完全に忘れてました。

お礼日時：2024/09/12 14:02