オイラーの公式

テイラー展開を使わないで証明してください！

質問者からの補足コメント

• 

  やってちょ！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/17 23:38

• sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,
  cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
  ーー＞
  これ証明してちょ

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 11:12

• 

  アザッス！！！
  
  
  ＞(d/dx)^2 f(x) = -f(x) の一般解については、どこの入門書にもある
  定係数線型微分方程式の一般解法によって...
  固有方程式 λ^2 = -1 の解が λ = ±i で、これを用いて
  { e^(λx) } が解空間の基底をなす。
  ーー＞
  たしかに・・・
  あまりにも数学的ですね！
  強引にも見えるが・・・

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/18 20:47

• 

  難しく考えすぎ！！！

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/20 07:39

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/18 10:16

f(x)=(cosx-isinx)e^{ix}…(1)

とする
↓xで微分すると
f'(x)
=(-sinx-icosx)e^{ix}+(cosx-isinx)ie^{ix}
=(-sinx-icosx+icosx+sinx)e^{ix}
=0

したがってすべての実数xについてf'(x)=0が成り立つから
f(x)は定数関数である
f(x)=f(0)より
f(x)=(cos0-isin0)e^{0i}=1
↓これを(1)に代入すると
(cosx-isinx)e^{ix}=1
↓両辺に(cosx+isinx)をかけると
(cosx+isinx)(cosx-isinx)e^{ix}=cosx+isinx
{(cosx)^2+(sinx)^2}e^{ix}=cosx+isinx
↓(cosx)^2+(sinx)^2=1だから
∴
e^{ix}=cosx+isinx

この回答へのお礼

この証明みたことある！

お礼日時：2024/12/18 11:30

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/19 09:48

＞ 強引にも見えるが・・・

大切なのは、 sin, cos の定義に何を採用して
その定義の下で証明するのか？ ってこと。
具体的な証明の内容は、むしろ枝葉の話。

関数を冪級数で明示的に定義する立場からは No.1 が、
関数を微分方程式で定義する立場からは No.7 が
簡潔で素直な証明だが、個人的には No.2 No.3 の方法が
構成的で好き。

ちな、No.3 の流儀では、 exp も
log x = ∫[1,x] (1/t)dt の逆関数として定義するのがイイ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/18 14:43

例えば、前の質問↓にもちょろっと書いたが、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13989625.html
微分方程式の解として関数を定義する方法がある。

(d/dx) f(x) = f(x), f(0) = 1 の解を f(x) = exp(x),
(d/dx)^2 f(x) = -f(x), f(0) = 0, f’(0) = 1 の解を f(x) = sin(x),
(d/dx)^2 f(x) = -f(x), f(0) = 1, f’(0) = 0 の解を f(x) = cos(x)
と定義してみる。
解の存在と一意性については、ここに書いてるとキリがないので
解析の教科書等を参照のこと。

(d/dx)^2 f(x) = -f(x) の一般解については、どこの入門書にもある
定係数線型微分方程式の一般解法によって...
固有方程式 λ^2 = -1 の解が λ = ±i で、これを用いて
{ e^(λx) } が解空間の基底をなす。

すなわち、上記の定義によって
sin(x) = A e^(ix) + B e^(-ix),
cos(x) = C e^(ix) + D e^(-ix)　；A,B,C,Dは定数
と表せる。

上記定義の初期条件を代入して、連立一次方程式を解けば、
A = 1/2, B = -1/2, C = 1/2, D = 1/2 が求められる。 QED

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/18 14:34

＞ sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,

＞ cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
＞ これ証明してちょ

いや、だから、
その式が sin, cos の定義だって言ってるでしょ？

他の定義の下で証明してほしいなら、
自分が採用した定義を書かにゃ話が始まらんがな。

この回答へのお礼

？？？？？？

お礼日時：2024/12/18 20:13

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/18 10:10

>テイラー展開を使わないで

定義域拡張は禁止ということなら、
「複素指数関数は存在しない」で良くない？

そういう数学を定義したんだから仕方がない。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/18 11:12

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/18 07:43

三角関数の定義

sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,
cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
から、連立一次方程式を解く。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/12/18 03:36

最初からそのように定義すればいい.

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/18 11:10

No.1 回答者： lv4u 回答日時： 2024/12/17 23:29

無理！