宝くじの確率に関して

Question

サッカーくじのBIGって１等の当選確率が約４８０万分の１なんですけどこれは１枚買ったときの確率ですよね。
では１００枚買ったら１等の当選確率は４８０００分の１ってことになりますか？

kamiyasiro · Accepted Answer

No.6です。

クーポンコレクター問題とは、お菓子に入っている野球選手のカードを全部揃えるとか、ガチャに入っているアイテムを全種類コンプリートするためには、平均いくつ購入しなければならないか、という問題です。

本問題のように、これだけ数字が大きいと（14桁だそうです）、普通のPCではエラーになってしまい計算出来ないので、事例として小さい数字で説明します。

１～40の数字がランダムに生成され、購入した投票券に印字されるクジがあるとします（連番ではない）。

当然、当選番号もその中から選ばれるとします。

ここで、何人の購入者がいれば、確実に当選者が出るか。言い換えれば何枚発行すれば１～40の数字が出揃うのか。それがクーポンコレクター問題と同じ計算でできます。

その答えは、なんと平均171人なのです。

つまり、１～40の数字だから、当然１人で100枚も買えば当たるだろうと思ったら間違いで、171枚買わないと当たりが出ないということです。

だからキャリーオーバーが起きるんですね。

これは平均なので、同じ行為を何度も繰り返したときに、平均171枚買えば当選するということになります。（少し買って当たることがあれば、もっと買っても当たらないこともある）

当選確率は、このケースでは145枚くらい買ったときが最大になるようですね（添付図参照）。図中の縦線は中央値です。右端が平均値です。

480万とおりのケースは、たとえ100枚でも左側の地を這っている部分になりますね。100枚買っても100倍にはなりませんね。

私は以前、確率は非線形と書きましたが、まさに図のようなことです。これは第１種スターリング数という数に依るそうです。
これについては、私も勉強中です。
お詳しい方が、解説して下さるのを期待しています。

kamiyasiro · Answer

14桁と言っても、14試合が引き分けかどちらが勝つかの３とおりなので、

3^14＝4782969とおり

ですね。「賭け」ではなくクジなので、投票はランダムなんですね。

kamiyasiro · Answer

No.5です。

このケースはクーポンコレクター問題（日本ではコンプガチャ問題）ですね。

kamiyasiro · Answer

ちょっと皆さんの回答とはズレてしまう指摘なんですが、約４８０万分の１の確率で毎回当選者が出る訳ではないですよね。キャリーオーバーがありますよね。

このクジは、抽選番号がランダム生成です。
このとき、100をどんどん大きくしていったらどうなるか考えてみました。

有名な誕生日問題という問題があります。ランダムに365人の人を集めても、誕生日が全部違うということは、確率的には稀なんです。
１人なら1/365の確率で〇月〇日が観察できますが、100人だと100/365の確率で〇月〇日が出てくる訳ではないのです。

購入者が480万人いると、かなりの重複番号が生成され、生成されない番号もそれなりにあります。だから山分け論も出てくるしキャリーオーバーもあるのです。

１口購入するときは単純でも、ｎ口購入するときはｎに依存する非線形な現象が起きるのではないでしょうか。

まあ、100口程度であれば、近似的に直線だろうけど。

yhr2 · Answer

すべてのくじは「当選確率が約４８０万分の１」なので、それが「100枚」あれば、当選する確率は

(1/480万) × 100 = 100/480万 = 1/4.8万

になりますよ。
（正確にいえば、「確率」というよりは「期待値」なんでしょうけど）

買ったくじによって「確率が異なる」だったら不公平ですから、すべてのくじのおののが等しい当選確率で、かつ１枚１枚が「独立」していればそういうことになります。
「100枚が連続番号」であっても基本的には同じです。

サイコロを振って「１の出る回数の期待値」は
　(1/6) × (振った回数)
ですから、宝くじの「当たりくじを引く期待値」は
　(１枚当たりの当選確率) × (枚数)
ということになります。

ssawatake · Answer

クジを引いて戻す操作じゃ無く、自分の手元に残るクジだから、当選確率は買った枚数に比例します。

10枚に1枚当りクジが有る場合。
引いて戻す操作をすれば、10回やって当る確率は、約65%。
戻す操作をしなければ、10回やって当る確率は、ピッタリ100%。

どちてオジサン · Answer

そんな単純な計算にはならないですね。

100枚買ったからって、くじ全体が100分割されるわけじゃないですよね？
100分割されて、それぞれで当たりを出すということなら単純に100分の１にできますが、そうでないなら100枚全部が外れの中に入ってしまう確率も計算に入れないといけない。

ssawatake · Answer

です。
100枚しか無いクジの中に1等が1枚在った場合、100枚買えば1等当選確率100%ですから。
(1/10 × 10 =1 [100%])

宝くじの確率に関して

No.6です。

14桁と言っても、14試合が引き分けかどちらが勝つかの３とおりなので、

No.5です。

ちょっと皆さんの回答とはズレてしまう指摘なんですが、約４８０万分の１の確率で毎回当選者が出る訳ではないですよね。

すべてのくじは「当選確率が約４８０万分の１」なので、それが「100枚」あれば、当選する確率は

クジを引いて戻す操作じゃ無く、自分の手元に残るクジだから、当選確率は買った枚数に比例します。

そんな単純な計算にはならないですね。

です。

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