画像の定理6.3を証明したいのですが(1)はT_N(x)の置き方が(2)は途中の式変形で間違っている

画像の定理6.3を証明したいのですが(1)はT_N(x)の置き方が(2)は途中の式変形で間違っていると指摘されました。どう変えれば良いのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• ①

  
    補足日時：2025/01/25 13:42

• ②

  
    補足日時：2025/01/25 13:42

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 10:59

画像の通り

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/26 05:16

#2訂正です

e^{inx]は多項式ではないのだけれども
{φn={1/√(2π)}e^{inx}}{n∈Z}
はL2(-π,π)の正規直交基底だから

任意のε>0について
任意の-π≦x≦πに対して
|f(x)-TN(x)|<ε
TN(x)=Σ[n=-N～N]α(n)φn(x)
となるような
自然数Nと{α(n)}{n∈Z}が存在するけれども

Nを外から指定できないし
α(n)=Cn[f]/√(2π) と指定することはできない
α(n)=Cn[f]/√(2π)となるかどうかは別に示す必要がある

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/25 15:59

ワイエルシュトラスの多項式近似定理は

fを閉区間[a,b]上の連続関数とすると
任意のε>0について多項式pであって
[a,b]の任意の点xに対して
|f(x)-p(x)|<ε
を満たすようなものが存在する
といっているだけだから
その存在するという多項式は
勝手に外から指定できるのものではありませんし、
そもそも
TN(x)=Σ[n=-N～N]Cn[f]e^{inx]
は
多項式ではありません

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/25 13:35

添削しようにも、読めんがな。