いそいで

有限次元ベクトル空間においては、任意の線形部分空間（線形部分空間 V⊂X）は自動的に閉集合になるという事実があります。

はなんで言えますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/27 13:36

証明以前に、まずそれがほんとうに事実かどうか

の検討が必要かな。
線形空間に入れる位相によっては、部分線形空間が
閉集合になるとは限りません。

例えば、実3次線形空間に直交座標を置いて、
2点間の距離をx座標の差とするような位相を入れます。
この位相の下では、x軸に垂直でない平面は閉集合では
ありません。

線形空間かつ位相空間であるだけでは、平素我々が
実線形空間や複素線形空間で感じているような
アタリマエが、そのままには成り立たない場合があります。
直感どおりの性質を持つためには、空間が
「位相線形空間」であるとよいですね。

全ての線形結合が連続写像になっているような線形空間を
位相線形空間と呼びます。スカラーが位相体であるような
線形空間に、成分の直積で位相を入れると、位相線形空間
になります。位相体とは、加法と乗法が連続写像である
ような体のことです。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 19:50

X,Yを位相空間とする

fをXからYへの写像とする

連続写像の定義
次の同値である2条件のいずれか1つ(したがって全部)が成り立つとき
fはXからYへの連続写像という

(i)Yの任意の開集合Gに対して逆像f^{-1}(G)はXの開集合となる
(ii)Yの任意の閉集合Aに対して逆像f^{-1}(A)はXの閉集合となる

開写像の定義
Xの任意の開集合のfによる像がYの開集合となるとき
fはXからYへの開写像という

閉写像の定義
Xの任意の閉集合のfによる像がYの閉集合となるとき
fはXからYへの閉写像という

開写像,閉写像,連続写像の概念は一般には一致しないから

連続写像の定義は、開集合の原像が
開集合であるような写像のことだけれども
それは、閉集合の
像が閉集合であるような写像
(閉写像)
のことには言い換えることはできません

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/27 18:14

No.4 に、ちょっとギャップがあったので、補足を。

位相線形空間の定義は、線形結合が連続写像になることですが、
この定義の下で、線形写像は連続になります。
線形結合が連続であることによって、像を成分表示したときの
各成分が連続になるので、像空間の位相を成分の直積位相として
構成すれば示せます。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/27 13:37

位相線形空間において部分線形空間が閉集合であること

は、ほぼ自明です。連続写像の定義は、開集合の原像が
開集合であるような写像のことです。それは、閉集合の
像が閉集合であるような写像のこととも言い換えられます。
位相の定義より、空間全体は閉集合のひとつですから、
線形写像の値域になりえる集合は位相線形空間の閉集合
だということになります。

部分線形空間に対し、そこへの射影を考えることができます。
部分空間 V に対し、その補空間 W をひとつ設定して、
V の元 x はそのまま x 自身へ、W の元は 0ベクトルへ
移すような線形写像 f を考えると、f の値域は V になります。
前述の事情により、V は閉集合と判ります。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/27 05:46

π:X→X/V

位相空間の1点集合{0}は閉集合
閉集合{0}の連続写像πの逆像

V=π^{-1}({0})

は閉集合

この回答へのお礼

いまいちかな

お礼日時：2025/01/27 09:31

No.1 回答者： hinso_0222 回答日時： 2025/01/26 20:03

事実があるからです。

この回答へのお礼

なんで？

ってい質問です.

お礼日時：2025/01/26 21:01