これが最初からわかりません bが0より小さくないといけないのがわかりません

これが最初からわかりません
bが0より小さくないといけないのがわかりません

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/28 19:26

√(ｘ2＋aｘ)＋ｂｘ＝ｆ(ｘ)とすれば条件から

ｘ→＋∞のときｆ(ｘ)→4
上式の両辺をｘ＞0でわれば
√(1＋a/ｘ)＋ｂ＝ｆ(ｘ)/ｘ
ここでｘ→＋∞とすれば左辺→1＋ｂ、右辺→4×0＝0
ゆえに　1＋ｂ＝0、ｂ＝－1　が自然と出ます。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/27 20:24

lim[x→∞]{bx+√(x^2+ax)}=4

だから

x>10+|a|
|bx+√(x^2+ax)-4|<1

となるようなxが存在する

bx+√(x^2+ax)-4<1
↓両辺に4-bxを加えると
√(x^2+ax)<5-bx…(1)

x>10+|a|≧10
x+a>10+|a|+a≧10
だから
x>10
x+a>10
だから
x^2+ax=x(x+a)>100
√(x^2+ax)=√{x(x+a)}>√100=10
だから
10<√(x^2+ax)
↓(1)から√(x^2+ax)<5-bx　だから
10<5-bx
↓両辺にbx-10を加えると
bx<-5
↓x>0だから両辺をxで割ると
b<-5/x
↓-5/x<0だから
∴
b<0

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/27 12:31

最初に b < 0 を言わなくても、

写真でその下に書いてある計算を先にやって
lim[x→+∞] { (1-b^2)x + a }{ √(1 + a/x) - b } が発散しないために
1 - b^2 = 0 から b = ±1 と言って、その後
b = 1 の場合に lim[x→+∞] { √(x^2 + ax) + bx } は発散,
b = -1 の場合に lim[x→+∞] { √(x^2 + ax) + bx } = a/2.
とやってもいいんじゃない？
むしろ、そのほうが自然かと、

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/27 09:51

∞-∞=有限はあり得るけど

∞+∞が有限になることはあり得ないから

例
lim[x→∞]｛(x+1) + x｝=∞
lim[x→∞]｛(x+1) - x｝=1

私なら、無理やりだけど

x > 0 と仮定してよいから
平方根をべき級数展開すると
√(x^2+ax) = x√(1+a/x) ＝ x(1 + (1/2)(a/x) -(1/8)(a/x)^2 + ・・・
= x + (1/2)a - (1/8)a^2/x + (1/16)a^3/x^2 - ・・・
だから、
b=-1, a=8 なら
lim[x→∞]{√(x^2+ax)+bx}=
lim[x→∞]{(1/2)a - (1/8)a^2/x + (1/16)a^3/x^2 - ・・・}=4
とできる。
でおしまい。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/27 01:18

b ≧ 0 だったら、

lim[x→+∞] { √(x^2 + ax) + bx } = +∞ になるじゃん。