複素数に拡張したタンジェント関数の取りうる領域

zを複素数として、
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tanz(z)=sin(z)/cos(z)
としたとき、tan(z)は複素数全体を動くのでしょうか？

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/31 21:12

#6間違えました

-------------------------
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2は間違い
tanz(z)=sin(z)/cos(z)も間違い

sin(z)=i(e^(-iz)-e^(iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tan(z)=sin(z)/cos(z)
とする
----------------
のだけれども
tan(z)の虚部の絶対値は1より大きくなることはないというのは間違いでした取り消します

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/31 19:25

tan(z) = (1/i) { e^(iz) - e^(-iz) } / { e^(iz) + e^(-iz) } を e^(iz) について解くと

e^(2iz) = {1 + i tan(z) } / { 1 - i tan(z) } になります。

オイラーの公式 e^(x+iy) = (e^x){ cos(y) + i sin(y) } を見れば判るように
複素指数関数の値域は ≠0 ですから、
tan(z) に対応する z があるための条件は 1 - i tan(z) ≠ 0 かつ 1 + i tan(z) ≠ 0.
すなわち、 tan(z) ≠ -i かつ tan(z) ≠ i です。
±i 以外の複素数 c については、tan(z) = c となる z があります。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/31 16:23

sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2は間違い

tanz(z)=sin(z)/cos(z)も間違い

sin(z)=i(e^(-iz)-e^(iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tan(z)=sin(z)/cos(z)
とする

z=x+iy
x,yを実数とする

e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}(cosx+isinx)
e^{-iz}=e^{-i(x+iy)}=e^{-ix+y}=(e^y)(cosx-isinx)

sin(z)
=i(e^{-iz}-e^{iz})/2
=i{(e^y-e^{-y})cosx-i(e^y+e^{-y})sinx}/2
={(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx}/2

cos(z)
=(e^{iz}+e^{-iz})/2
={(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}/2

tan(z)
=sin(z)/cos(z)
=
{(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx}
/{(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}

tan(z)が純虚数の場合

Re(tan(z))
=(e^y+e^{-y})sinx/{(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}
=0

sinx=0
cosx=±1

tan(z)=i(e^y-e^{-y})/(e^{-y}+e^y)

|e^{-y}+e^y|^2-|e^y-e^{-y}|^2
=e^{-2y}+e^{2y}+2-(e^{-2y}+e^{2y}-2)
=4
>0

|e^{-y}+e^y|>|e^y-e^{-y}|

tan(z)の虚部の絶対値

|tan(z)|=|e^y-e^{-y}|/|e^{-y}+e^y|<1

は
1以上になることはないから

tan(z)は複素数全体を動かない

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/31 13:52

まあ、三角関数の定義は

sin(z) = { e^(iz) - e^(-iz) } / (2i),
cos(z) = { e^(iz) + e^(-iz) } / 2,
tan(z) = sin(z) / cos(z)
なんだけど...
そういう言わずもがなな指摘はともかくとして、
質問の内容

ｚ が複素数（ただし、極である (z - π/2)/π∈整数 は除く）
を動くとき、 tan z の取り得る値の範囲は tan z ≠ ±i です。

tan(z) = (1/i) { e^(iz) - e^(-iz) } / { e^(iz) + e^(-iz) }
の e^(iz) の値が何であれば tan z = ±i になるか？
を考えれば、解りますね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/31 10:53

e^(iz)=cos(z)+isin(z)

e^(-iz)=cos(z)-isin(z)

e^(iz)-e^(-iz)=2isin(z)

↓両辺を2で割ると

(e^(iz)-e^(-iz))/2=isin(z)

∴
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2 は間違いです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/31 06:00

sin(z)は

通常

sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2

ではなく

sin(z)=i(e^{-iz}-e^{iz})/2
と
定義されます

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/30 22:14

普通の複素平面上では、±i だけ無かったと思う。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/03/30 22:02

「tanz(z)」はあるのですが「tan(z)」はどこにあるのでしょうか?

あとそこに書いてあるのは sin ではない.

なお一般世界の tan なら答は YES.