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zを複素数として、
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tanz(z)=sin(z)/cos(z)
としたとき、tan(z)は複素数全体を動くのでしょうか?

A 回答 (10件)

> >±i 以外の複素数 c については、tan(z) = c となる z があります。


> はむつかしそうですね。

いや、そうでもない。
それの説明も、No.7 に既に入っている。

tan(z) = sin(z) / cos(z) は
e^(2iz) = {1 + i tan(z) } / { 1 - i tan(z) } と変形できるが、
tan(z) = c が ±i 以外の複素数ならば
{1 + i tan(z) } / { 1 - i tan(z) } = a ≠ 0 となる複素数 a がある。
それは、一次分数関数 f(t) = {1 + i t } / { 1 - i t } がどんな関数か
調べれば判る。
a が e^(2iz) の値域に含まれるから、e^(2iz) = a となる z は在る。
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この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございました。

お礼日時:2025/04/06 12:36

今さらだけど


|cos z|<∞
だから
1+tan^2 z ≠ 0
だわな.
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#6間違えました


-------------------------
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2は間違い
tanz(z)=sin(z)/cos(z)も間違い

sin(z)=i(e^(-iz)-e^(iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tan(z)=sin(z)/cos(z)
とする
----------------
のだけれども
tan(z)の虚部の絶対値は1より大きくなることはないというのは間違いでした取り消します
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tan(z) = (1/i) { e^(iz) - e^(-iz) } / { e^(iz) + e^(-iz) } を e^(iz) について解くと


e^(2iz) = {1 + i tan(z) } / { 1 - i tan(z) } になります。

オイラーの公式 e^(x+iy) = (e^x){ cos(y) + i sin(y) } を見れば判るように
複素指数関数の値域は ≠0 ですから、
tan(z) に対応する z があるための条件は 1 - i tan(z) ≠ 0 かつ 1 + i tan(z) ≠ 0.
すなわち、 tan(z) ≠ -i かつ tan(z) ≠ i です。
±i 以外の複素数 c については、tan(z) = c となる z があります。
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この回答へのお礼

明解な回答ありがとうございます。
>±i 以外の複素数 c については、tan(z) = c となる z があります。
はむつかしそうですね。

お礼日時:2025/04/05 20:56

sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2は間違い


tanz(z)=sin(z)/cos(z)も間違い

sin(z)=i(e^(-iz)-e^(iz))/2
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
で、

tan(z)=sin(z)/cos(z)
とする

z=x+iy
x,yを実数とする

e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{ix-y}=e^{-y}(cosx+isinx)
e^{-iz}=e^{-i(x+iy)}=e^{-ix+y}=(e^y)(cosx-isinx)

sin(z)
=i(e^{-iz}-e^{iz})/2
=i{(e^y-e^{-y})cosx-i(e^y+e^{-y})sinx}/2
={(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx}/2

cos(z)
=(e^{iz}+e^{-iz})/2
={(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}/2

tan(z)
=sin(z)/cos(z)
=
{(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx}
/{(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}

tan(z)が純虚数の場合

Re(tan(z))
=(e^y+e^{-y})sinx/{(e^{-y}+e^y)cosx+isinx(e^{-y}-e^y)}
=0

sinx=0
cosx=±1

tan(z)=i(e^y-e^{-y})/(e^{-y}+e^y)

|e^{-y}+e^y|^2-|e^y-e^{-y}|^2
=e^{-2y}+e^{2y}+2-(e^{-2y}+e^{2y}-2)
=4
>0

|e^{-y}+e^y|>|e^y-e^{-y}|

tan(z)の虚部の絶対値

|tan(z)|=|e^y-e^{-y}|/|e^{-y}+e^y|<1


1以上になることはないから

tan(z)は複素数全体を動かない
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まあ、三角関数の定義は


sin(z) = { e^(iz) - e^(-iz) } / (2i),
cos(z) = { e^(iz) + e^(-iz) } / 2,
tan(z) = sin(z) / cos(z)
なんだけど...
そういう言わずもがなな指摘はともかくとして、
質問の内容

z が複素数(ただし、極である (z - π/2)/π∈整数 は除く)
を動くとき、 tan z の取り得る値の範囲は tan z ≠ ±i です。

tan(z) = (1/i) { e^(iz) - e^(-iz) } / { e^(iz) + e^(-iz) }
の e^(iz) の値が何であれば tan z = ±i になるか?
を考えれば、解りますね。
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e^(iz)=cos(z)+isin(z)


e^(-iz)=cos(z)-isin(z)

e^(iz)-e^(-iz)=2isin(z)

↓両辺を2で割ると

(e^(iz)-e^(-iz))/2=isin(z)


sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2 は間違いです
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sin(z)は


通常

sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2

ではなく

sin(z)=i(e^{-iz}-e^{iz})/2

定義されます
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2025/04/05 20:57

普通の複素平面上では、±i だけ無かったと思う。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2025/04/05 20:57

「tanz(z)」はあるのですが「tan(z)」はどこにあるのでしょうか?



あとそこに書いてあるのは sin ではない.

なお一般世界の tan なら答は YES.
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2025/04/05 20:57

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