写真は2変数関数の合成微分の公式の導出について表したものですがわからないことが2つあります。 ①黄線

写真は2変数関数の合成微分の公式の導出について表したものですがわからないことが2つあります。
①黄線部の式を代入したあとにどのように計算すれば赤線部のo(h)が出てくるのでしょうか？
②①同様の質問になりますが、緑線の式の中で、青線部のo(h)/h (の項)が見当たらないのですが、どのように式変形すれば緑線の式に
なるのですか？

質問者からの補足コメント

• https://d.kuku.lu/2ebnafrt5
  写真が見にくい場合こちらから閲覧お願いします

    補足日時：2025/05/03 00:38

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/05/06 10:30

ようやく　 mtrajcpさんの方法が理解できました(見にくいせいもあって)。

一番簡単でしたね。

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/05/05 08:21

写真の論理に沿って、端折られた部分を繋いでみた。

一般的には
　f(x+h,y+k)=f(x,y)+hfx(x,y)+kfy(x,y)+o(√(h²+k²))
と書くが
　√(h²+k²)≦|h|+|k|
だから
　|g(x,y)/(|h|+|k|)|≦|g(x,y)/√(h²+k²)| → 0
なので
　f(x+h,y+k)=f(x,y)+hfx(x,y)+kfy(x,y)+o(|h|+|K|)
とも書ける。

したがって、次式
　f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))
　　=fx(x(t),y(t))(x(t+h)-x(t))+fy(x(t),y(t))(y(t+h)-y(t))
　　　　+o(|x(t+h)-x(t)|+|y(t+h)-y(t)|)
からの変形になるが、右辺の始めの1,２項は、
　x(t+h)-x(t)=x'(t)+o(h)
を使うと
　fx(x(t),y(t))(x(t+h)-x(t))
　　=fx(x(t),y(t))(x'(t)h+o(h))=fx(x(t),y(t))x'(t)h+o(h)
などとできるが、３項は o(・・・+o()) となって面倒になる。

ここは#3と同様に平均値の定理から
　o(|x(t+h)-x(t)|+|y(t+h)-y(t)|)
　　　=o(|x'(t₁)h|+|y'(t₂)h|)=o((|x'(t₁)|+|y'(t₂)|)|h|)=o(|h|)=o(h)
とすればよい。すると

　f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))
　　=fx(x(t),y(t))x'(t)h+fy(x(t),y(t))y'(t)h+o(h)
となり、求める式が得られる。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/04 09:17

＞ なぜo(h)/h=0になるのでしょうか？

なりません。
o(h)/h = 0 ではなく、lim[h→0] o(h)/h = 0 です。

極限が何者だかは、流石に知ってるんでしょうね？
一般に、関数 F(t) に対して d/dt の定義は
(d/dt) F(t) = lim[h→0] { F(t+h) - F(t) }/h です。
緑線部の両辺を lim[h→0] すると、
その下の行の
(d/dt) f(x(t),y(t)) = fx(x(t),y(t)) x’(t) + fy(x(t),y(t)) y’(t) + 0
になるのです。
この末尾の +0 が、lim[h→0] o(h)/h = 0 です。

lim[h→0] o(h)/h = 0 となる理由は、 o( ) の定義です。
No.5 に「ランダウの o( ) の定義は覚えていますね。」と書きましたね？
前回質問
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14088896.html
の回答に書いておいたのですが、忘れてしまったでしょうか。

o( ) は、ひとつの関数の名前ではなく、
o(F(x)) は lim[x→c] G(x)/F(x) = 0 となるような関数 G(x) の総称です。
lim を明示しない書き方なので、c が何だったか頭の中で把握しておかないと
話が意味不明になってしまいます。今回の場合は、lim[ｈ→0] でした。

この定義から直ちに、緑線部の両辺を h→0 するとき
o(h)/h→0 となるのでした。
o(h)/h = 0 ではなく、lim[h→0] o(h)/h = 0 です。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/05/07 20:00

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/03 11:10

h→0 のとき　g(h)/h→0 となるとき　g(h)=o(h) と定めるのだから

h→0 のとき　o(|x(t+h)-x(t)|+|y(t+h)-y(t)|)/h→0 となるから
∴
o(|x(t+h)-x(t)|+|y(t+h)-y(t)|)=o(h)
だから
①
o(|x(t+h)-x(t)|+|y(t+h)-y(t)|)は赤線部のo(h)に等しい

h→0 のとき　{fx(x(t),y(t))+fy(x(t),y(t))+1}o(h)/h→0　となるから
∴
{fx(x(t),y(t))+fy(x(t),y(t))+1}o(h)=o(h)
だから
②
青線部の
{fx(x(t),y(t))+fy(x(t),y(t))}o(h)
は
赤線部の
o(h)
とまとまって
{fx(x(t),y(t))+fy(x(t),y(t))+1}o(h)/h
となって
緑線部の
o(h)/h
になる

この回答へのお礼

お礼日時：2025/05/07 20:00

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/03 10:07

そこに書いてあるとおり、少し上のほうの

f(x(t+h),y(t+h)) - f(x(y),y(t))
= fx(x(t),y(t)) { x(t+h) - x(t) }
　+ fy(x(t),y(t)) { y(t+h) - y(t) }
　+ o( |x(t+h)-x(t)| + |y(t+h)-y(t)| )
という式へ、黄色線部の
x(t+h) - x(t) = h x’(t) + o(h),
y(t+h) - y(t) = h y’(t) + o(h)
を代入すると、
f(x(t+h),y(t+h)) - f(x(y),y(t))
= fx(x(t),y(t)) { h x’(t) + o(h) }
　+ fy(x(t),y(t)) { h y’(t) + o(h) }
　+ o( |hx’(t+h)+o(h)| + |hy’(t+h)+o(h)| )
= h fx(x(t),y(t)) { x’(t) + o(h)/h }　　　　←③
　+ h fy(x(t),y(t)) { y’(t) + o(h)/h }
　+ o( |hx’(t+h)+o(h)| + |hy’(t+h)+o(h)| )
となります。
この式と青線部,赤線部のある式を比較すれば、

①
赤線部の o(h) は o( |hx’(t+h)+o(h)| + |hy’(t+h)+o(h)| ) を指している
ことが判ります。それが示せるでしょうか？

ランダウの o( ) の定義は覚えていますね。
G(h) = o(|hx’(t+h)+o(h)|+|hy’(t+h)+o(h)|) すなわち
lim[h→0] G(h)/o(|hx’(t+h)+o(h)|+|hy’(t+h)+o(h)|) = 0 であれば、
lim[h→0] |G(h)/ｈ|
= |lim[h→0] G(h)/|ｈ||
= |lim[h→0] G(h)/{|hx’(t+h)+o(h)|+|hy’(t+h)+o(h)|}|・lim[h→0] {|hx’(t+h)+o(h)|+|hy’(t+h)+o(h)|}/h|
= |lim[h→0] G(h)/{|hx’(t+h)+o(h)|+|hy’(t+h)+o(h)|}|・lim[h→0]{(|x’(t+h)+o(h/h)|+|y’(t+h)+o(h)/h|}
= 0・{|x’(t)+0|+|y’(t)+0|}
= 0
と計算できますから、
lim[h→0] G(h)/ｈ = 0 すなわち G(h) = o(h) です。

②
{ } 内の式から h を括り出したときに
黄色線部の右辺の o(h) が青線部の o(h)/h になりました。
更に③の { } を展開すれば、①も踏まえて
f(x(t+h),y(t+h)) - f(x(y),y(t))
= h fx(x(t),y(t)) x'(t) + h fy(x(t),y(t)) y'(t)
　+ fx(x(t),y(t)) o(h) + fy(x(t),y(t)) o(h)
　+ o(h).
両辺を h で割って、
{ f(x(t+h),y(t+h)) - f(x(y),y(t)) }/h
= fx(x(t),y(t)) x'(t) + fy(x(t),y(t)) y'(t)
　+ { fx(x(t),y(t)) + fy(x(t),y(t)) + 1 } o(h)/h
です。

{ fx(x(t),y(t)) + fy(x(t),y(t)) + 1 } は h について定数ですから、
{ fx(x(t),y(t)) + fy(x(t),y(t)) + 1 } o(h) も o(h) のひとつですね。
よって、
{ f(x(t+h),y(t+h)) - f(x(y),y(t)) }/h
= fx(x(t),y(t)) x'(t) + fy(x(t),y(t)) y'(t)
　+ o(h)/h
と書けます。これが、緑線部です。

前回質問のときにも言いましたが、ランダウの記号は
ここに書いたような細かい lim の計算を書かずに済ますための便利な記法です。
o( ) と o( ) を合成する計算が「自明」で済ませられないのであれば、
使っても得はありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
なぜo(h)/h=0になるのでしょうか？

お礼日時：2025/05/04 08:17

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/05/03 09:17

>ここで、平均値の定理と②から(x',y'は有界)

　o(√(X²+Y²))=o(√(x'(t₁)²+y'(t₂)²) |h|)=o(|h|)=o(h)<
●「ここで、平均値の定理と③から」の間違いでした。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/05/03 09:04

写真の論理はぶっ飛びすぎて理解不能(x,yにhが含まれる処理ができていない)。

下記を参照してください。

1.
g(x)は有界とすると
　　o(f(x))= o(f(x))+ o(f(x))・・・・①
　　g(x) o(f(x))= o(f(x))・・・・・②
　　o(g(x)f(x))= o(f(x))・・・・③

　　x'(t)=dx(t)/dt などとする。
また、f(x,y)が(全)微分可能とはo記号で
　f(x+h,y+k)=f(x,y)+hfx(x,y)+kfy(x,y)+o(√(h²+k²))
のことであるる

なお、x(t)が微分可能は
　x(t+h)=x(t)+hx'(t)+o(h)
などと書ける。

2.
　X= x(t+h)-x(t) , Y=y(t+h,v)-y(t)
とおくと、微分可能だから
　f(x(t+h),y(t+h))=f(x(t)+X, y(t)+Y)
　　　=f(x(t),y(t))+Xfx(x(t),y(t))+Yfy(x(t),y(t))+o(√(X²+Y²))
ここで、平均値の定理と②から(x',y'は有界)
　o(√(X²+Y²))=o(√(x'(t₁)²+y'(t₂)²) |h|)=o(|h|)=o(h)
したがって、上式は
　f(x(t+h),y(t+h))=f(x(t)+X, y(t)+Y)
　　　=f(x(t),y(t))+Xfx(x(t),y(t))+Yfy(x(t),y(t))+o(h)・・・・④
となる。

3.
また、x,yは微分可能だから
　X=hx'(t)+o(h) ,Y=hy'(t)+o(h)
である。

すると②から(fは微分可能だからfx,fyは当然有界)
　Xfx(x(t),y(t))=(hx'(t)+o(h))fx(x(t),y(t))
　　　　=hfx(x(t),y(t))x'(t)+fx(x(t),y(t))o(h)=hfx(x(t),y(t))x'(t)+o(h)
同様に
　Yfy(x(t),y(t))=(hy'(t)+o(h))fy(x(t),y(t))
　　　　=hfy(x(t),y(t))y'(t)+fy(x(t),y(t))o(h)=hfy(x(t),y(t))y'(t)+o(h)
これらを足すと①から
　Xfx(x(t),y(t))+Yfy(x(t),y(t))
　　　　=hfx(x(t),y(t))x'(t)+hfy(x(t),y(t))y'(t)+o(h)・・・・⑤

4.
⑤を④に入れて、①を使うと
　f(x(t+h),y(t+h))
　　=f(x(t),y(t))+hfx(x(t),y(t))x'(t)+hfy(x(t),y(t))y'(t)+o(h)
→
　{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))}/h
　　　=fx(x(t),y(t))x'(t)+fy(x(t),y(t))y'(t)+o(h)/h
をえる。

この回答へのお礼

お礼日時：2025/05/07 20:01

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/05/03 02:59

f_x や f_y は有限だと思っていいのかな?

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/05/02 23:51

見えません。