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x^2+xy+y^2-1=0
これはなぜ楕円になるんですか?

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1の形にならないんですけど、なぜ楕円なんですか?

gooドクター

A 回答 (5件)

>なぜこの形(x^2+xy+y^2-1=0)を見て45°回転していると分かるんでしょ>うか?



元の式がx,yの対称式、つまりxとyを入れ替えたときもとの式と同じ式になること。
これはx軸とy軸を入れ替えても同じグラフになる、ということ。つまり直線y=xについて対称であることを示しています。なので1次変換を用いて45°回転させてみればいいとわかります。

なお1次変換についてはたとえば

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_im …

あたりを参照のこと。
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この回答へのお礼

すっきりしました!回答ありがとうございました。とても分かりやすかったです。

お礼日時:2005/07/17 22:52

今までに指摘があった通りに座標変換すると、


元の図形を(反時計回りに)45°(π/2)回転させたものになります。
変換後の式を見ると楕円であることがわかるでしょう。

ちなみにこの楕円は、元の座標でいうと、
(-1,1)と(1,-1)を結ぶ線分を長軸、
(1/√3,1/√3)と(-1/√3,-1/√3)を結ぶ線分を短軸とする、
横長の楕円を(時計回りに)45°(π/2)回転させたものです。
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この回答へのお礼

すいません。皆さんのを読んで、ずっと考えているんですけど、まだ理解できません(T_T)
なぜこの形(x^2+xy+y^2-1=0)を見て45°回転していると分かるんでしょうか?

お礼日時:2005/07/17 20:53

45度回転してみればよいのではないでしょうか。



45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。
x=Xcosα-Ysinα
y=Xsinα+Ycosα ※α=45度
これらを元の式に代入すると
x^2+xy+y^2-1
=X^2+Y^2-2XYsinαcosα+X^2sinαcosα-Y^2sinαcosα+XY(cos^2α-sin^2α)+X^2+Y^2+2XYsinαcosα-1
=(5/2)X^2+(3/2)Y^2-1=0
となり、楕円の式になります。
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この回答へのお礼

>45度回転した後の座標を(X,Y)とおけば、元の座標(x,y)は以下のように表されます。
x=Xcosα-Ysinα
y=Xsinα+Ycosα ※α=45度

なぜこのようになるのか、まだ理解できないでいます。
この(X,Y)と(x,y)は、同じx軸y軸を基準にした座標ですよね??

お礼日時:2005/07/17 21:01

済みません、肝心なことを書き忘れました。


sqrt(2)はルート2です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。今頑張って理解しようとしてるんですが、よく分かりません(T_T)

お礼日時:2005/07/17 21:02

x = (1/sqrt(2)) (X - Y)


y = (1/sqrt(2)) (X + Y)
と置いてみてください。
そうすれば(X, Y)について、楕円の式になります。

この変換は座標を回転しています。
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