２枚のコインの片方が表の時、もう片方が裏になる確率は？

ある有名な数学者(?)のクイズ本に、
「２枚のコインを投げて一方が表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」という問題が載っていました。
私は当然、答は１／２だと思ったら、なんと答は２／３だと言うのです！
どこかの「兄ちゃん寝る！」だか「姉ちゃん寝る？」だかでも話題になっているとか？？

どう思われますか？？？

No.1 回答者： CTAB 回答日時： 2005/09/19 12:38

コインを二枚投げて出るパターンは

表、表
表、裏
裏、表
裏、裏
の四通りですね。
このとき片方が表だったのですから現在残っている可能性は
表、表
表、裏
裏、表
の三通り

よって表の一枚とは別のコインの可能性は
表、表　：では表
表、裏　：では裏
裏、表　；では裏

よって裏である確立は三分の二となります

この回答へのお礼

即座の解答をありがとうございます。
その本の解答もご指摘の通りの説明でした。

ただ私は、「一方が表と判ったとき」という意味を
「どちらか一方だけを見たら、表だったと判ったとき」と解釈したので、

「表、表」の場合の右側の「表」を見たとき
「表、表」の場合の左側の「表」を見たとき
「表、裏」の場合の左側の「表」を見たとき
「裏、表」の場合の右側の「表」を見たとき
の４通りが考えられ、今求めようとしているのは、この中の

「表、裏」の場合の左側の「表」を見たとき
「裏、表」の場合の右側の「表」を見たとき
の２通りだから、答は、

２／４　＝　１／２
だと考えたのですが・・・

どうなのでしょうかね？

お礼日時：2005/09/19 12:52

No.2 回答者： OsieteG00 回答日時： 2005/09/19 12:40

↓

参考URL：http://www1.odn.ne.jp/haru/sansu/sansu_14.html

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。
やはり、普通は「４通り中の２通り」と考えるのでしょうかね。
私みたいな解釈は、正統ではないのでしょうか？
なお、このｗｅｂページには、「条件付確率」とか書いてありましたが、そうなんでしょうかね？
いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/19 13:01

No.3 回答者： Ki4-U2 回答日時： 2005/09/19 13:58

やはり１／２だと思います。

・２枚のコインを別々に（たとえば右手と左手で）投げて、必ず片方（右手で投げた方）を先に開く場合
　→直感的にも１／２なのはどなたも納得できると思います。

・２枚のコインを混ぜて投げる場合
コイン１、２のどちらを先に開くか、でまず２通りに分かれます。つまり
１、２、先に開くほう
A 表、表、１ ○
B 表、表、２ ○
C 表、裏、１ ◎
D 表、裏、２
E 裏、表、１
F 裏、表、２ ◎
G 裏、裏、１
H 裏、裏、２

A～Hまでの確立はすべて同じ(1/8)です。
そして○と◎が「一方が表と判ったとき」、
そして◎が、「一方が表と判ったとき、もう一方が裏である」場合です。
２／４＝１／２ですね。

[表、表] の組み合わせが実はA,Bのふたつある、というのがミソです。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

Ｎｏ．３さんの解答は、私と同じ解釈に立ったものですね。
こういう解釈も、「不当」ではないと思うのですが・・・

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/19 14:31

No.4 回答者： CTAB 回答日時： 2005/09/19 14:13

１の回答者ですが、つまり

表、表
をどちらを先に見るかで二通りととるというのは「観測者の視点」なんですね

逆に
表、裏
裏、表
というのは「神様の視点」です。そして確立とは神様の視点つまり起こりうる事象を区別して考えないといけません。

たとえば１００円玉と５００円玉でこの実験を行ったら

１００円表、５００円裏
１００円裏、５００円表
はまったく別の事象ですが、

１００円表、５００円表
５００円表、１００円表
はまったく同じ事象です。

よって両方表のコインのどちらを先に見るかで二通りの可能性があると考えるのは、同一の現象に二種類の結果を求めているということになってしまうんです。
もちろんそれを考慮して考える場合もあるのですが、この問題では「表と判ったとき、もう一方が裏である確率は？」となっています。
つまりコインはもう投げ終わっているんですね。
よって起こりえる事象としては、

１００円表、５００円裏
１００円裏、５００円表
１００円表、５００円表
の三通りのみ、として扱わないといけません。

・・・といったところでどうでしょうか？

この回答へのお礼

再度のご回答をありがとうございました。

基本的には、問題文の解釈の違いだと思うのですが・・・。
つまり、「一方が表と判ったとき」という条件を、
(1) コインを投げた人以外の神様か誰かが、投げられた２枚のコインの両方を見て、「あっ、これは一方が表の場合だな！」と判断したとき
と解釈するのか、
(2) コインを投げた人でも神様でも誰かが、投げられたコインの片方だけを見て、「あっ、表だ！」という場合
と解釈するのか、

ということだと思うのですが・・・
どうでしょうか？

お礼日時：2005/09/19 14:51

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2005/09/19 14:23

＞やはり、普通は「４通り中の２通り」と考えるのでしょうかね。

４通りのうちの２通りだから，確率は２／４。
といえるのは、その４通りが同様に確からしいときだけです。

例えば、２枚のコインを投げた場合、一方が表、他方が裏となる確率は、
「２枚とも表」
「１枚が表、１枚が裏」
「２枚とも裏」
の３通りのうち、１つが条件を満たしているから、１／３

とはなりませんよね。

「２枚とも表」
「１枚が表、１枚が裏」
「２枚とも裏」
が「同様に確からしい」といえませんので。

ご質問の件も同じです。
「表、表」が出る
「表、裏」が出る
「裏、表」が出る
これらが同様に確からしい事には異論はないと思います。

このうち、「表、表」について、右を見たか、左を見たかで２つに分けた
＞「表、表」の場合の右側の「表」を見たとき
＞「表、表」の場合の左側の「表」を見たとき
＞「表、裏」の場合の左側の「表」を見たとき
＞「裏、表」の場合の右側の「表」を見たとき
は同様に確からしいとはいえないでしょう。

したがって、４通りのうちの２通りだからといって、２／４とはなりません。


・・・と、思ったのですが、いかがでしょう。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

「同様に確からしい」というのが、確率計算の基礎ですよね。
例えば、２枚のコインを投げた場合、一方が表、他方が裏となる確率は、
「２枚とも表」
「１枚が表、１枚が裏」
「２枚とも裏」
の３通りのうち、１つが条件を満たしているから、１／３
ではない！、というのは分かりますし、

「表、表」が出る
「表、裏」が出る
「裏、表」が出る
これらが「同様に確からしい」ということも、異論はありません。

しかし、
「表、表」の場合の右側の「表」を見たとき
「表、表」の場合の左側の「表」を見たとき
「表、裏」の場合の左側の「表」を見たとき
「裏、表」の場合の右側の「表」を見たとき
は同様に確からしいとはいえない、
という点はよく分かりません。

今、「２枚のコインを投げた後、どちらかのコインだけをまず見る」という解釈の下で考えると、
Ｎｏ．３さんが述べられているとおり、
「表、表」の場合の右側のコイン（表）を見たとき
「表、表」の場合の左側のコイン（表）を見たとき
「表、裏」の場合の右側のコイン（裏）を見たとき
「表、裏」の場合の左側のコイン（表）を見たとき
「裏、表」の場合の右側のコイン（表）を見たとき
「裏、表」の場合の左側のコイン（裏）を見たとき
「裏、裏」の場合の右側のコイン（裏）を見たとき
「裏、裏」の場合の左側のコイン（裏）を見たとき
の８通りは、すべて「同様に確からしい」と思うのですが・・・

するとこの中で、今問題にしている「一方が表と判ったとき」というのは、１，２，４，５番目の４つの事象ではないでしょうか。
そしてこのとき、この４つの事象は「同様に確からしい」となっていると思うのですが。

どうなのでしょうか？

お礼日時：2005/09/19 15:19

No.6 回答者： Ki4-U2 回答日時： 2005/09/19 14:35

#3です。

#1=4さん、理解できました。

両方見終わって、少なくとも片方が表だったときに、ということですね。
ここからすでに、元の設問を読み間違っていました。

あえてわたしの#3の説明でいうと、「D,Eも◎」になって、たしかに２／３です。


他山の石としてください(^^ゞ

この回答へのお礼

再度のご回答をありがとうございました。
やはり、「両方見終わって、少なくとも片方が表だったときに、・・・」という解釈が正しいのでしょうか？
私としては、問題文の条件が不明確（説明不足）だという気がするのですが・・・

お礼日時：2005/09/19 15:23

No.7 回答者： at9_am 回答日時： 2005/09/19 19:28

統計学から考えると、1/2が正しいです。

質問者の方が＃５の方へのお礼に書かれていたとおりなのですが、以下で整理しましょう。

まず、一枚コインを投げるとしましょう。すると表が出る確率は1/2、裏が出る確率も1/2となります。もう一枚同じようなコインを用意し、一枚目を黒、二枚目を白のコインと呼ぶことにしましょう。
更に、投げた後、どちらのコインを先に見るかは事前には決まっておらず、それぞれ1/2の確率だとしましょう。

一枚目が表だったとすれば、それは
　黒を先に見て、しかも表であった
　白を先に見て、しかも表であった
の何れかになっているので、1/4＋1/4=1/2の確率で一枚目が表になっている、ということが分かります。

一枚目が表であり、もう一枚が裏であるとすれば、それは
　黒を先に見て、しかも黒は表であり、白が裏であった
　白を先に見て、しかも白は表であり、黒が裏であった
のいずれかになっているということが分かります。したがって 1/8+1/8=1/4 で起こるという事になります。

以上から、求める確率は (1/4)/(1/2)=1/2 から 1/2 になります。


なぜ 2/3 になるという回答にしたのか？　という点ですが、こういう論理パズルは「どこが間違っているのか」という事を楽しむ習慣がありますので、そういう「もっともらしい嘘」をついているのだと思います。


もう一つ、ベイズ統計量を用いた予測を考えるとし、事前の予測が１：１であったとしましょう。すると、一枚目の結果から予測される二枚目が裏の確率は 1/2 ではなくなります。ちょっと難しくなりますので説明は割愛しますが、事前分布をβ(2,2)にした場合には 2/3 になります。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました。

２枚のコインを投げた後、「どちらか一方だけをまず見たとき、」それが表だった場合について考えている、
という解釈でいいということですね？

ただ、最後の「ベイズ統計量を・・・」というところで、
「事前分布をβ（２，２）にした場合には（二枚目が裏の確率は）２／３ になります。」というのは、
２枚のコインを投げた後、「両方のコインを見たとき、」どちらかが表だった場合について考えている、
という解釈の場合の答に相当している訳でしょうか？

いずれにしろ、回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/19 22:16

No.8 回答者： at9_am 回答日時： 2005/09/19 20:13

＃７です。

ちょっとだけ補足します。

＃１の方の「理論」のどこがおかしいのかを書いていませんでしたね。
確率が必要なのは、表（又は裏）が分からないときです。実際に結果が出ている・いないに関わらず、その結果を知らないことが重要なのです。
したがって、一方のコインが表か裏かが先に分かるわけですから、
「どちらを先に見るか」
という問題があります。

裏表
の時を考えましょう。どちらを先に見るかは分かりませんが、裏を先に見ることも当然あります。したがって
表表
と
裏表
表裏
は、一方が表だと分かったという条件の下では同じ確率で起こるとは言えないのです。逆に言えば「表になった方を必ず先に見る」という条件を置いているのと同じ事になります。
これは、両方ともの結果を知っていることと同じことですよね。

この回答へのお礼

再度のご回答をありがとうございました。

２枚のコインを投げた後「両方を見て、」もし片方が表のとき、
（裏表がもう判っているはずの）もう一方のコインについて、それが裏となっている確率を求めよ、
という解釈は、確かにちょっと変な気がしますよね。

または、神様とか友人とかが２枚のコインを見て、見てないあなたに
「１枚は表でした。もう１枚は裏でしょうか？」
と聞いているような問題だと解釈する訳でしょうかね。

いずれにしても、ご回答をありがとうございました。

お礼日時：2005/09/19 22:44

No.9 回答者： eatern27 回答日時： 2005/09/19 22:32

#5です。

今、ふと思いましたが、

＞２枚のコインを投げて一方が表と判ったとき

これを

「２枚のコインを投げて、どちらか一方のコインを見てみると、それが『たまたま』表だった」

と解釈するのがいけない気がします。(確かにこう解釈すればと、他方が裏である確率は1/2です)

あくまでも、ここで与えられた情報は、「一方が表」という情報だけです。「自分で適当に選んだコインが表だった」とは違います(違うと思います)。

例えば、(結果を知っている)第三者に"両方とも裏か？"と聞いて"NO"という答えが返ってきたのかもしれません。

なので、(適当に)選んだコインの表裏を確かめる必要はありません。

このような状況では、
「表、表」である確率は、１／３　
「表、裏」である確率は、１／３
「裏、表」である確率は、１／３
です。("NO"という答えから、「裏、裏」の確率は０なので)

そして、その第三者に、表である方を見せてもらいます。見せてもらわなかった方のコインが裏である確率を聞かれているイメージです。


「表、表」であったとしたら、左右どちらのコインを見せてもらうことになりますが、仮に、1/2の確率でコインを選ぶとしても、
左のコインを見せてもらう確率が1/6
右のコインを見せてもらう確率が1/6
です。(当然ですが、合計で、1/6+1/6=1/3となります)
まぁ、この２つは、区別できないので、区別する必要はないでしょう。とにかく、「表、表」が出て、どちらかの表を見せてもらう確率は、1/3ですね。

「表、裏」であったとしたら、左のコインを見せてもらう事になりますが、確率は1/3のままです。「裏、表」の場合も同じです。

このように考えても、
「表、表」が出て、左の表を見せられる
「表、表」が出て、右の表を見せられる
「表、裏」が出て、左の表を見せられる
「裏、表」が出て、右の表を見せられる
これらは、同様に確からしいでしょうか？


「もう一方が裏」という条件を満たすのは、「表、裏」「裏、表」が出る場合ですので、確率は、1/3+1/3=2/3となると思います。


嘘だと思うのなら、実験してみましょう。
２枚のコインを用意して、投げ続けます。
「一方が表」という条件を満たす回数を数え、
その中で、「もう一方が裏」という条件を満たす回数を数えます。

「もう一方が裏という事象の回数」÷「一方が表という事象の回数」
を計算してみてください。回数を増やすに従って、2/3に近づくでしょう。

この回答へのお礼

再度のご回答をありがとうございます。

「あくまでも、ここで与えられた情報は、「一方が表」という情報だけです。」
ということは確かですが、問題はその情報の内容ですよね。

この情報から、
「「自分で適当に選んだコインが表だった」とは違います。」
と断定できるのでしょうか？

「例えば、(結果を知っている)第三者に"両方とも裏か？"と聞いて
"ＮＯ"という答えが返ってきたのかもしれません。」
よね！　そう、まさにその通りです。

つまり、「一方が表」という情報は、どのような状況なのかを（１つに）断定できない
“あやふやな”情報なのではないでしょうか？
だから、答が　２／３　と出てきても　１／２　と出てきても不思議ではない訳です。

あとは、どちらの解釈がより“自然”なのか、といったことが問題になるくらいでしょう。

「第三者に表である方のコインを見せてもらい、見せてもらわなかった方のコインが裏である確率
を聞かれているイメージです。」
という方が“自然”か、

一方のコインだけを見て、それが表であるとき、もう一方のコインが裏である確率
を聞かれているイメージ
という方が“自然”か、

どちらかが表であるとき、それが表と裏となる確率を聞かれているイメージ
という方が“自然”か、等々・・・

なお、実際に実験をするとしても、どのような試行を繰り返すかによって、
実際の「確率の値」は違ってくると思われます。
ある試行の繰り返しでは　２／３　になったり、別の場合は　１／２　になったりと・・・

お礼日時：2005/09/20 06:05

No.10 回答者： tadasi1 回答日時： 2005/09/19 23:47

コインの一方は，表だと分かっています。

よって，考えられるのは
表を主にすればいいので

表　　裏
表　　表
裏　　表

です。

答え　もう一方が裏になる確率は，３分の２　になります。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。

やはり、３通りの中の２通りということでしょうか。
こちらの意見の方のほうが、どうやら多いようですね。
こうした発想の方が“自然”なのでしょうか、元の問題文から連想するのは・・・

しかし例えば、
２枚のコインを長靴の中に投げ込んで（ちょっと臭いかな？！）、
手探りで上下をそのままにしながら１枚を取り出したら、
そのコインが表だったとき、まだ長靴の中にあるもう１枚のコインが裏である確率は？
といった場合も、
「片方が表と判ったときに、もう一方が裏である確率は？」
という元の問題文に当てはまるケースの気がするのですが・・・
（この場合の答は　１／２　となる訳です。）

どうでしょうか？

お礼日時：2005/09/20 19:19