条件付き確率の乗法定理

Question

条件付き確率のことがわからなくなってしまいました。

ここでは、事象Ａが起こる確率をP(A)、事象Ａが起こったときに事象Ｂが起こる条件付き確率をP(A,B)と表します。

「確率の乗法定理」 P(A∩B)=P(A)P(A,B)

S君（私のことですが）は、次のような条件付き確率の問題（教科書の章末問題ですが）を表を作って解こうと思いました。

【問題】２つの箱A,Bがある。箱Aに赤玉１個を入れ、箱Bには赤玉49個、白玉50個（合計99個）を入れた。今、硬貨をを投げて、表が出たら箱Aから、裏が出たら箱Bから、１個の玉を取り出すとする。赤玉を取り出す確率を求めよ。
（問題をこの質問用に改変してあります）

正解は、（1/2)×(1/1)+(1/2)×(49/99)＝74/99、ですが、
S君は、次のように、表を作って解こうとしました。
      赤玉    白玉    計
表     1        0     1
裏    49       50    99
計    50       50   100

※配列がちょっと崩れてしまいますが、赤玉、白玉、計の順番に左から1、0，1；49、50，99；50、50，100、です。

これより、(50/100)×(1/50)+(50/100)×(49/50)=1/2

S君の解答はどこがおかしいのでしょう？

思うに、S君の作った表の1、49、・・・などは、その根元事象は「同様に確からしい」とは言えないのではないかということです。すると、このような表そのものが無意味ではないかこということになります。だとすればどのような表なり樹形図を作ればいいのか、困ってしまいました。

また、根元事象が「同様に確からしい」とは言えないときも上の条件付きの確率に関する乗法定理は成り立つのでしょうか。ここのところもご教授いただければ幸いです。
重ねて、よろしくお願いいたします。

sunasearch · Accepted Answer

＃１です。

表や樹形図により、場合の数を列挙して問題を解くためには、列挙される各事象の起こる確率が「同様に確からしい」必要があります。

この問題において「同様に確からしい」のは、コインの表、裏の出る確率と、箱Aもしくは箱Bの中の１つの玉を引く確率であり、同じ赤玉でも、箱Aの赤玉と箱Bの赤球を引く確率の間には、同様に確からしいという仮定が存在しません。

すなわち、すべての赤玉を引く場合において、「同様に確からしい」という仮定が存在しないため、この問題を、通常の場合の数を列挙した表や樹形図で解くことはできません。

age_momo · Answer

#2です。我ながらわかりにくい説明だと思うので補足しておきます。
今、箱Aの玉にはA、箱Bの玉にはBと書いて箱から出して袋に入れて玉を1個取り出して見ます。赤玉総数は50個で全体は100個ですから赤玉を取り出す確率は1/2です。S君は少し計算を加えていますがこの確率を算出しています。
ところがこの袋からAと書いた玉を取り出す確率はAと書いた玉が1個ですので1/100です。コインで箱A,Bを選ぶ時は１/2ですのでこのやり方が題意に合わないのは明白です。
ここでAと書いた玉を99個にして見ます。
S君の表で言えば
99 　 0　99
49 　50　99
148　50 198

です。これらを袋に入れればAと書いた玉を取り出すのもBと書いた玉を取り出すのも1/2でコインを投げる必要は無くなり、通常の確率計算（赤玉総数/玉総数）で
148/198=74/99
と算出されます。

Naoki_M · Answer

表の3行目は必要ありません。箱Aと箱Bの玉を混ぜたりすることはないので、合計を考えても意味がありません。一方、3列目には意味があります。それぞれ箱A、箱Bに入っている玉の数の合計を表していて、計算にも必要です。この表は、１つの表というよりも、２つの表を組み合わせたものであって、１行目と２行目は独立していると考えたほうが良いと思います。

この表を使って計算するなら、次のようにすれば正しい答えを出せます。
（赤玉を取り出す確率）＝（表が出て赤玉を取り出す確率）＋（裏が出て赤玉を取り出す確率）。

ここで、
（表が出て赤玉を取り出す確率）＝（表が出る確率）×（表が出たという条件のもとで赤玉を取り出す確率）＝(1/2)×(1/1)......（表の１行目から）。
同様に、
（裏が出て赤玉を取り出す確率）＝（裏が出る確率）×（裏が出たという条件のもとで赤玉を取り出す確率）＝(1/2)×(49/99)......（表の２行目から）。
したがって、赤玉を取り出す確率は、
(1/2)×(1/1)+(1/2)×(49/99)＝74/99

S君の解答は、どうして(50/100)や(1/50)という数字を使ったのか、よくわかりません。箱Aと箱Bの玉を混ぜたと考えたということでしょうか。この問題では2つの箱の玉を混ぜることはないので、計算の仕方が間違っています。それぞれの数字の意味を考えながら計算すると、このような間違いは防げると思います。

表を使って問題を解くなら、場合の数ではなく、確率を計算した上で次のような表をつくった方がよい場合もあります。数字の意味は、（表が出て赤玉を取り出す確率）などです。この場合は３行目もあります。玉の数の合計ではなく、確率の合計なので意味があります。
,赤玉,白玉,計
表,1/2,0,1/2
裏,49/189,25/99,1/2
計,74/99,25/99,1
例えば、「取り出した玉は赤玉であった。硬貨が表である確率はどれだけか」というような問題なら、表から(1/2)/(74/99)=99/148と計算できます。

＃１さんのおっしゃる通り、「同様に確からしい」は乗法定理とは直接は関係ありません。ただし、場合の数から確率を求める際には、「同様に確からしい」ということが必要になるので、乗法定理にも間接的に関係があります。個人的には、「同様に確からしい」ということには常に気をつけていたほうがよいと思います。

age_momo · Answer

実際には箱Aには1個しか赤玉が入っていないのは分かりますが、白玉が0である以上、赤玉はいくつでも確率は同じはずです。（つまりコインが表なら100％赤玉ですよね）Sさんの解法では箱に入っている赤玉の数で確率が変化することになり、明らかにおかしいですよね。

どうしても、この表を書いて解きたいのであれば、コインの表、裏は出る確率が同じなのですから、箱Aと箱Bに入っている玉の数を1:1にする必要があると思います。
つまり、箱Aには赤玉が99個入っていると考えて計算すればいいのでは？

sunasearch · Answer

>（1/2)×(1/1)+(1/2)×(49/99)＝74/99

この表の1/2は、表になる確率、裏になる確率です。

>(50/100)×(1/50)+(50/100)×(49/50)=1/2

この式の意味するところは、50/100は赤玉を引く確率となり、求める答えがはじめからわかっていることになります。

もともと、50/100 = 1/2とわかっているのですから、計算してもやはり1/2です。


＞「確率の乗法定理」 P(A∩B)=P(A)P(A,B)

乗法定理にはA,Bの２つの事象しか存在しません。
２つの事象のそれぞれをきちんと定義すれば、常に成り立ちます。

「同様に確からしい」は、たとえば事象Aの確率を求めるときの話なので、乗法定理とは無関係です。

条件付き確率の乗法定理

＃１です。

#2です。

表の3行目は必要ありません。

実際には箱Aには1個しか赤玉が入っていないのは分かりますが、白玉が0である以上、赤玉はいくつでも確率は同じはずです。

>（1/2)×(1/1)+(1/2)×(49/99)＝74/99

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