No.4ベストアンサー
- 回答日時:
NO2の投稿の訂正
「両辺をn乗して
b^(mx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる」
は
「両辺をn乗して
a^(nx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる」
の誤りです。
No.3
- 回答日時:
最後に「sとmとnの最小公倍数とします。
以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s
(ただしu|mは、mはuで割り切れるの意味、v|nも同様)」
a^(m/u)*b^(n/v)が位数sの元となります。」
の証明のイメージを書いておきます。
(3)より
「m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数とすると以下のような自然数uとvが存在します。
『uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s』
」
となる自然数uとvの存在が分かります。
さらに(2)
「m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。」
より
a^(m/u)の位数がu、b^(n/v)の位数がvであることがわかります。
そして、(1)
「mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。」
より
a^(m/u)*b^(n/v)の位数がuv=sとなることが分かります。
したがって、位数がmとnの最小公倍数sになる元の存在がいえました。
No.2
- 回答日時:
それでは詳しい説明を
(1)
「mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。」
の証明ここから
(ab)^(mn)=a^(mn)*b^(mn)=1_G
(ただし1_GはGの単位元)
abの位数をxとすると、位数の性質よりmnはxで割り切れる。・・・△
(ab)^x=1_G
両辺をm乗して
b^(mx)=(ab)^(mx)=a^(mx)*b^(mx)=1_G
位数の性質よりmxはnで割り切れる
mとnは互いに素だからxはnで割り切れる
両辺をn乗して
b^(mx)=(ab)^(nx)=a^(nx)*b^(nx)=1_G
位数の性質よりnxはmで割り切れる
mとnは互いに素だからxはmで割り切れる
したがって、xはmかつnで割り切れる。
mとnは互いに素だから、xはmnで割り切れる。・・・▽
△と▽より、x=mnとなります。
よって(1)はいえました。
(1)の証明ここまで
(2)
「m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。」
の証明ここから
a^mの位数をyとします。
a^(mn)=(a^m)^n=1_G
位数の性質よりnはyで割り切れる。・・・□
a^(my)=(a^m)^y=1_G
位数の性質よりmyはmnで割り切れる。
したがって、yはnで割り切れる。・・・■
□と■よりy=nとなります。
よって(2)はいえました。
(2)の証明ここまで
(3)
「m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数とすると以下のような自然数uとvが存在します。
『uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s』
」の証明ここから
mとnを以下のように素因数分解する
m=Π(p^a),n=Π(p^b)
すると
s=Π(p^{max(a,b)})と書けます。
(ただしmax(a,b)とはaとbのうち、大きい方の数を表します)
自然数u,vを以下のように定めます。
u=Πp^c
a≧bのときc=a、a<bときはc=0
v=Πp^d
a≧bのときd=0、a<bのときd=b
このu,vが問題の条件「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s」を満たすことは明らかである。
よって(3)はいえました。
(3)の証明ここまで
No.1
- 回答日時:
間違っています。
abの位数ががmとnの最小公倍数になると確実にいえるのは、mとnが互いに素のときだけです。
sとmとnの最小公倍数とします。
以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s
(ただしu|mは、mはuで割り切れるの意味、v|nも同様)」
a^(m/u)*b^(n/v)が位数sの元となります。
ポイントは以下の三つです。
(1)
mとnを互いに素な自然数とする
aの位数がmかつbの位数がnならば、abの位数はmnとなります。
(2)
m、nを自然数とします
aの位数がmnのとき、a^mの位数はnである。
(3)
m、nを自然数、sをmとnの最小公倍数すると以下のような自然数uとvが存在します。
「uとvは互いに素、かつu|m、v|nかつuv=s」
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