換算係数などがデータとして与えられている際に、
その各データの間の値を計算する式で、補間式
というのがあるらしいのですが、どのように
計算すればいいのでしょうか?

例えば、放射線の吸収線量-線量当量の換算係数で、
空気カーマが1グレイである場合の線量当量が
下記の通り与えられている場合、ガンマ線の
エネルギー1.25MeVに対応する実効線量はどのように
求めたらよいのでしょうか?

ガンマ線のエネルギー1.0(MeV)・実効線量1.010(Sv)
ガンマ線のエネルギー2.0(MeV)・実効線量1.003(Sv)

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A 回答 (2件)

エネルギーと実効線量の関係については忘れちゃったので、とりあえず一般論のみ。



一般に、何の智恵もなしに
(xi, yi) i=1,2,...,N
が分かっているときにxにおけるyを求めようとするときは多項式近似をやります。
つまりこれらの与えられた点を通る(N-1)次式を作って、これにxを代入するんですね。データがほんとに2カ所しかない(N=2)場合なら直線近似をやるということになります。つまり
yi = a xi + b (i=1,2)
という連立方程式を解いて、a,bを決めれば
y = a x + b
で近似値が出ます。答は
y = y1(x-x2)/(x1-x2)+y2(x-x1)/(x2-x1)
です。
N=3なら2次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3) /[(x1-x2)(x1-x3)]+
y2(x-x1)(x-x3) /[(x2-x1)(x2-x3)]+
y3(x-x1)(x-x2) /[(x3-x1)(x3-x2)]
N=4なら3次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3)(x-x4) /[(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)]+
y2(x-x1)(x-x3)(x-x4) /[(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)]+
y3(x-x1)(x-x2)(x-x4) /[(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)]+
y4(x-x1)(x-x2)(x-x3) /[(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)]
規則性が分かりますか? x=x1, x2, x3,...を代入するとどうなるか、自分で検算してみると仕組みが理解しやすいですよ。

もうちょっと智恵があって、
y = f(x)
というような理論式が分かっている場合には あてはめ(model fitting)をやります。
たとえば、
f(x) = a exp[bx] (exp[]は指数関数、a,bは未知の係数です)
というのなら、
この例では N=2が未知の係数の個数と同じだから、単に連立方程式
y1 = a exp[b x1]
y2 = a exp[b x2]
を解いてa, bを決めることになります。この例では両辺の対数をとって、
ln(y1) = ln(a) + b x1
ln(y2) = ln(a) + b x2
とすれば、ただの2元連立一次方程式ですね。

一般にはNが未知の係数の数より多いので、
yi = f(xi) +Ei (i=1,2,....,N)
という連立方程式を考え、誤差Eiの二乗和
S = E1^2 + .... + EN^2
が最小になるように未知の係数を決定するのです。これは最小二乗法(least square method)と言います。

最小二乗法についての良い教科書は 中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」 東京大学出版会 1982 です。

この他にもスプライン補間法というのがあります。また、こういった話全般は、「近似理論」と呼ばれることがあります。
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この回答へのお礼

詳細にわたってのご説明本当にありがとうございます。
大変よくわかりました。
今回は一番最初の直線近似で解決できそうです。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

まず、x={log(1.25)-log(1.0)}/{log(2.0)-log(1.0)}*log(1.003)+{log(1.25)-log(2.0)}/{log(1.0)-log(2.0)}*log(1.003) としてxを求めて、


1.25MeVの実効線量を10^xとして求めます。
基本的な考え方として、対数グラフ上ではほぼ直線とみなすことができるので、そのグラフの線分上の内分点として求める、ということです。
放射線に詳しい訳ではないですが、少々かじったもので。
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この回答へのお礼

実際の数値を用いてのご説明ありがとうございます。
直線近似のlog版といったところでしょうか。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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 a=99.2612, b=116.7612

(2) log(y)=a*log(x)+bのとき
a,bの連立方程式
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を解いて、
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Aベストアンサー

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【参考URL】
 FORECAST 関数 - Excel - Office.com
  http://office.microsoft.com/ja-jp/excel-help/HP010342532.aspx

 初心者のエクセル(Excel)学習・入門 > エクセル関数の使い方 > 統計関数 > FORECAST関数とは
  http://excel.onushi.com/function/forecast.htm

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       (ア) (イ) (ウ)
        A B C
         (A) (B) (C)
          a b c
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  http://www.xlsoft.com/jp/products/intel/cvf/docs/vf-html/cvf_toc.htm
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  「/check:bounds」は実行時に配列の添え字が宣言の範囲を超えたらエラーを出すようにするようです。
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では。


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