換算係数などがデータとして与えられている際に、
その各データの間の値を計算する式で、補間式
というのがあるらしいのですが、どのように
計算すればいいのでしょうか?

例えば、放射線の吸収線量-線量当量の換算係数で、
空気カーマが1グレイである場合の線量当量が
下記の通り与えられている場合、ガンマ線の
エネルギー1.25MeVに対応する実効線量はどのように
求めたらよいのでしょうか?

ガンマ線のエネルギー1.0(MeV)・実効線量1.010(Sv)
ガンマ線のエネルギー2.0(MeV)・実効線量1.003(Sv)

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A 回答 (2件)

エネルギーと実効線量の関係については忘れちゃったので、とりあえず一般論のみ。



一般に、何の智恵もなしに
(xi, yi) i=1,2,...,N
が分かっているときにxにおけるyを求めようとするときは多項式近似をやります。
つまりこれらの与えられた点を通る(N-1)次式を作って、これにxを代入するんですね。データがほんとに2カ所しかない(N=2)場合なら直線近似をやるということになります。つまり
yi = a xi + b (i=1,2)
という連立方程式を解いて、a,bを決めれば
y = a x + b
で近似値が出ます。答は
y = y1(x-x2)/(x1-x2)+y2(x-x1)/(x2-x1)
です。
N=3なら2次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3) /[(x1-x2)(x1-x3)]+
y2(x-x1)(x-x3) /[(x2-x1)(x2-x3)]+
y3(x-x1)(x-x2) /[(x3-x1)(x3-x2)]
N=4なら3次式になって、
y = y1(x-x2)(x-x3)(x-x4) /[(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)]+
y2(x-x1)(x-x3)(x-x4) /[(x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)]+
y3(x-x1)(x-x2)(x-x4) /[(x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)]+
y4(x-x1)(x-x2)(x-x3) /[(x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)]
規則性が分かりますか? x=x1, x2, x3,...を代入するとどうなるか、自分で検算してみると仕組みが理解しやすいですよ。

もうちょっと智恵があって、
y = f(x)
というような理論式が分かっている場合には あてはめ(model fitting)をやります。
たとえば、
f(x) = a exp[bx] (exp[]は指数関数、a,bは未知の係数です)
というのなら、
この例では N=2が未知の係数の個数と同じだから、単に連立方程式
y1 = a exp[b x1]
y2 = a exp[b x2]
を解いてa, bを決めることになります。この例では両辺の対数をとって、
ln(y1) = ln(a) + b x1
ln(y2) = ln(a) + b x2
とすれば、ただの2元連立一次方程式ですね。

一般にはNが未知の係数の数より多いので、
yi = f(xi) +Ei (i=1,2,....,N)
という連立方程式を考え、誤差Eiの二乗和
S = E1^2 + .... + EN^2
が最小になるように未知の係数を決定するのです。これは最小二乗法(least square method)と言います。

最小二乗法についての良い教科書は 中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」 東京大学出版会 1982 です。

この他にもスプライン補間法というのがあります。また、こういった話全般は、「近似理論」と呼ばれることがあります。
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この回答へのお礼

詳細にわたってのご説明本当にありがとうございます。
大変よくわかりました。
今回は一番最初の直線近似で解決できそうです。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

まず、x={log(1.25)-log(1.0)}/{log(2.0)-log(1.0)}*log(1.003)+{log(1.25)-log(2.0)}/{log(1.0)-log(2.0)}*log(1.003) としてxを求めて、


1.25MeVの実効線量を10^xとして求めます。
基本的な考え方として、対数グラフ上ではほぼ直線とみなすことができるので、そのグラフの線分上の内分点として求める、ということです。
放射線に詳しい訳ではないですが、少々かじったもので。
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この回答へのお礼

実際の数値を用いてのご説明ありがとうございます。
直線近似のlog版といったところでしょうか。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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Aベストアンサー

E.ハイラー/G.ワナーの「解析教程」の上巻を見られることをお勧めします。
 この本は大学教養レベルの解析学の本ですが、歴史的な記述も多く、また歴史的な資料の写真や図版も豊富で中学生への関連説明のネタ本としても使いでがあります。
 たとえば、ヒッパソスが紀元前450年にsin(18°)を計算した話とか15世紀に1分刻みで小数点以下5桁の精度のsinの表が与えられたとかarctanの級数は1674年にグレゴリーにyほって発見されたとか…。

参考URL:http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431707506/ref=sr_aps_b_/249-2664474-6700334

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こんにちは。

1.
a×a×a×a×a = a^5
(a×a)×(a×a×a) = a^2 × a^3
よって、
a^5 = a^2 × a^3
つまり
a^(2+3) = a^2 × a^3

同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
logx = 「xはeの何乗ですか?」の答え
です。
つまり、
e^logx = eの『「xはeの何乗ですか?」の答え』乗 = x
です。
わかりにくければ、対数の公式を使うのもよいでしょう。
e^logx = A
とでも置いてみて、両辺の自然対数を取ると
log(e^logx) = logA
logx・loge = logA
logx・1 = logA
logx = logA
x = A

以上のことから、
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
 = x × e
 = ex

2.
>>>後の問題の解は(sinx+cosx)/(sinx-cosx)で終わっていいように思うのですが
おっしゃるとおりです。

>>>最後の変形はなぜこうなるのかわかりません。
(sin^2x - cos^2x)/(sinx - cosx)^2
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 = (sin^2x - cos^2x)(sinx + cosx)^2/{(sinx - cosx)^2(sinx + cosx)^2}
 = (sin^2x - cos^2x)(sinx + cosx)^2/(sin^2x - cos^2x)^2
約分して
 = (sinx + cosx)^2/(sin^2x - cos^2x)

こんにちは。

1.
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よって、
a^5 = a^2 × a^3
つまり
a^(2+3) = a^2 × a^3

同様に
e^(logx + 1) = e^logx × e^1
です。

次に、
logx というのは、もともと
logx = 「xはeの何乗ですか?」の答え
です。
つまり、
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です。
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Q複素係数のn次方程式の解の大きさを係数で評価する

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Aベストアンサー

最初の回答者です。
6時間ほど前に2度目の回答を投稿したつもりが、
最後にボタンを押し忘れていたようです。(恥)

>>>cos(e^{(-x)^2}の微分は2xsin(e^{(-x)^2}であっているのか確認したかったのですが、どうなんでしょう?

たしかに、当初のご質問文に書かれていましたね。失礼しました。
(等号のある式であることに気づかなかったもので・・・)

いずれ、前回回答と部分的に同じになります。
(y = log|t| と置かないだけ)

t = cosθ
θ = e^s
s = x^2
と置けば、
{cos(e^((-x)^2))}’={cos(e^(x^2))}’
 = dt/dx
 = dt/dθ・dθ/ds・ds/dx
 = (-sinθ)・e^s・2x
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 = -2x・e^(x^2)・sine^(x^2)
となります。

検算お願いします。

Q相関係数と回帰係数について

現在統計の問題に取り組んでいるのですが、元々数学が苦手なために苦戦しています。

[魚][活動時間x][水温y]
A  2     18
B  3     19
C  3     20
D  3     21
E  4     22

魚五匹が活動した水温と活動時間についての問題です。

・x- ̄xとy- ̄yのそれぞれの値を求めた上で、相関係数は
_ _
   <x-x,y-y>
r=__________
     _    _
  ∥x-x∥∥y-y∥

このような公式で求め、回帰直線は
     _   _
   <x-x,y-y>
a=_________
     _   _
   <x-x,x-x>
という式で求めるのですが、公欠の際に授業が行われ、他学年の授業だった為にどのようにして解けばよいのかが分からなくて困っています。

もしよろしければどのように解くのか教えていただけると助かります。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

まず相関係数から。μ[x]=3,μ[y]=20 から
σ[x]=√〔{(-1)²+0²+0²+0²+1²}/5〕=√(2/5)
σ[y]=√〔{(-2)²+(-1)²+0²+1²+2²}/5〕=√(10/5)
σ[xy]={(-1)・(-2)+0・(-1)+0・0+0・1+1・2}/5=4/5
したがって相関係数 r=σ[xy]/(σ[x]σ[y])=(4/5)/{(√(2/5))・(√(10/5))}=(4/5)/(2√5/5)=(2√5)/5
回帰係数は分かりません。

Q三角関数の基礎

中学では三角比(1:2:√3)まで勉強したのですが、高校では三角関数を習いませんでした。今わけあって三角関数を勉強しています。三角関数の基礎を教えて頂けないでしょうか?
1.三角関数は何の為に使われる?
2.三角関数の求め方。

Aベストアンサー

1.建築の分野で勾配などの計算や、波動を記述したり、フーリエ級数や、e^iθ=cosθ+isinθというオイラーの公式としてあらゆる工学の分野に使われたり、その応用範囲は非常に広く三角関数なしに現代の科学技術は語れないと言っても過言ではないのではないでしょうか。

おそらくここで出てきた単語は分からないものがあるでしょう。その分からない単語はインターネットで検索すればいろいろ出てきます。興味があれば自分で調べてみましょう。

2.三角関数の求め方は、こんな記述しにくい所で聞いているよりは高校生用の本を一冊買って自分で勉強した方がいいと思います。

何事もまずは自分で努力です。それでも分からなかったら質問する。これが基本です。

Q相関係数、決定係数からの考察

説明変数x、被説明変数a,bがあったとします。

そこで例えば

xに対してaの相関係数、決定係数がそれぞれ0.5、0.6
xに対してのbの相関係数、決定係数がそれぞれ0.7,0.8

であったとします。

この場合では、xはaよりもbの方をよりよく説明していると思うのですが、その理由は何でしょうか?

相関係数、決定係数の値が高いから…というのは何となく違うというかすっきりしないです(間違ってるのかもですが)

回答の程お願いします。

Aベストアンサー

>に対してaの相関係数、決定係数がそれぞれ0.5、0.6
ありえません。落ち着いて計算して下さい。

 xを身長、aをマラソンの記録、bを体重とすると、同様の結果が得られます。
そのとき、aとbの相関係数を比較したい、なんぞ誰も考えません。質問者だけ。考えすぎ。

 相関係数に差があるの、単にx以外の要因の影響か大きいだけ。x以外の要因き分からない場合が多いのですが、分かれば、重回帰分析をします。全て分かっている場合は、どちらも重相関係数は、1.00です。


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