抵抗値 R = 30 [Ω] の抵抗と,静電容量 C = 0.1 [μF] のコンデンサーを用いて RC 直列回路を組み,AC100 [V] の交流正弦波 f = 50 [Hz] を印加したときの,電流 i の従うべき理論式はどうなるのでしょうか?

 直流の場合は i = (V/R)exp(-t/CR) という式に従うと教科書にあり,式の導出の過程も一応理解したのですが,交流正弦波の場合はどう取り扱えばいいのかわかりません。

 実を言いますと,現在教えて!goo No.173330 に登録した通りの問題で行き詰まっております。RC 直列回路に交流正弦波を印加したときの電流の式が分かれば,この問題も解決すると思いました。よって,No.173330 の質問に即した形で答えていただければ,なお幸いです。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=173330

 以上,どうかよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

交流回路の基本なので、高校の物理の教科書にもあるかもしれません。




コンデンサのインピーダンスは

X=1/(2πfC)=1/(2π*50*0.1*10^-6)=31.8*10^3[Ω]

抵抗とコンデンサの直列つなぎのインピーダンスは

Z=√(R^2+X^2)=√(30^2+(31.8*10^3)^2)=31.8*10^3[Ω]

電流は

I=E/Z=100/(31.8*10^3)=3.14*10^-3[A]


この回路にさらに例えば1kΩの抵抗をつないだとき、流れる電流は

100/√( (30+(1*10^3))^2+(31.8*10^3)^2 )=3.14*10^-3[A]

で、ほとんど変わりません(コンデンサのインピーダンスが1kΩに対して大きいため)。また1kΩの抵抗の両端の電圧は

3.14*10^-3[A] * 1*10^3[Ω]=3.14[V]


また、この回路に例えば入力インピーダンス10MΩのデジタルテスタを挿入して電圧を測ったとき(スナバ回路のリレーオープンのときなど)、テスタの示す電圧は
(式省略、上の2つの式と同様)
99.9[V]で、ほとんど電源電圧と同じになります。

この回答への補足

 早速のご回答,大変ありがとうございました。この RC 直接回路で流れる電流が,

> I=E/Z=100/(31.8*10^3)=3.14*10^-3[A]

ということですと,この回路の途中にさらに電気製品を直列に挿入した場合,概ね 3 mW 以下の消費電力の電気製品なら問題なく動作するのでしょうか? また,その 3 mW の家電製品というのが,例えば電球だった場合,または AC トランスを利用した製品だった場合,両者ともに問題なく動作するのでしょうか?

 この 3 mW という値をもっと低くするには,単純に考えればコンデンサーのインピーダンスを上げればよい(静電容量を下げればよい)ということになると思いますが,コンデンサーの静電容量を例えば 1/10 に下げてしまった場合,この RC 直接回路を電磁リレーのスナバ回路として用いたときに,スナバ回路としての働きはどう変化しますか?

補足日時:2001/11/24 03:23
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>この回路の途中にさらに電気製品を直列に挿入した場合



3mWの消費電力とすれば、抵抗負荷だと約3.3MΩになります。このような負荷は実際にはないと思いますが、計算上は「10MΩのデジタルテスタ」の項で計算したように問題なく動作します。「ACトランス」の場合は、うーんどうでしょう。トランスは無負荷状態ではコイルと同じで、数100mAぐらいの励磁電流が流れますから…。

>コンデンサーの静電容量を例えば 1/10 に下げてしまった場合
これは過渡現象の話になるので、私は苦手です。他の回答者の方にお任せします。

ところで、スナバ回路は半導体スイッチ関係の用途が多いようですが、電磁リレーにも必要なのでしょうか?負荷が誘導性でなく、開閉頻度が少なく、ノイズの問題がそれほど場合はバリスタだけで充分にも思うのですが……?(一般のスイッチにも特に何も付いていないので)
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この回答へのお礼

ご回答いただき,大変ありがとうございました。

> 一般のスイッチにも特に何も付いていないので

いわれてみればその通りで,確かに不必要な回路だったかもしれません。早速スナバ回路を取り外し,すべて問題は解決いたしました。

この度は,大変ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/02 23:37

交流インピーダンスの直接計算は.1の方が答えていますので.テスターとネオン管についてだけ。

前回の質問に絡めて答えます。

まず.ネオン管で交流を接続する場合には.1メガオーム程度の抵抗を直列に入れますので.回路抵抗が1Mオーム超過の回路で考えます。100vのパワーリレー回目ですから.負荷は数オームを前提とします。なお.負荷が100kオーム超過のような回路では.電流がほとんど流れませんから.リレー接点保護や雑音防止を目的とするスパナ回路をつけません。むしろ.リレーが開いている時の漏れ電流や誘導が問題となり.漏れ電流の少ない部品(一例としては.メタルシールドリレー)を選定します。ですから.原則として電流が流れることを考えません。(ネオン管が負荷ではないですよね)

テスターの種類が書かれていませんが.おそらく昔ながらのタイオードで整流して.抵抗で分圧している方の2kオ-ム/(最大測定電圧の)V程度のインピーダンスのテスターを使用しているかもしれません。これで.負荷抵抗が300-500Kオームとなり.抵抗とコンデンサーの合成インピーダンス約30kオーム(1桁に丸めたもの)で.直流の分圧法則と同じ計算をすると.お話のように.テスター
の目盛りが95V程度になることが見当つきます。

一部の半導体機器を除くと.電源電圧を50V以下にすると.原則として動作しません。ネオン球や電球では.50Vでもうっすら光る場合がありますから.より低くします。負荷が10-500Wということですから.起動電流(電源を入れた直後に極端に大きな電流が流れるので.この電流を呼ぶ)をまったく考えず.定常電流(起動からしばらくたって電流がほとんど変化しなくなった時の電流)で考えます。
W=IEより.100V10Wの機械の定常電流は0.1Aとなります。負荷抵抗は100V/0.1A=1Kオームとなります。

すると.1の方の計算にしたがって.10Wの機械にリレーがOFFの時に流れる電流は3mA程度.かかる電圧は3V程度です。従って.原則として動作しません。

ただ.問題が一つだけ残っています。リレーが.片側1線しか切断しない場合に.家庭内に来ている電気の100Vの接地側か非接地側のいずれか一方しか切断しません。もし.接地側の電線を切断した時には.人間が接地されているとすると.電線に触っただけで感電します。あるいは.両側2線を切断する回路の場合には.50V程度かかりますので.電線に触ってビリット来た程度のことが起こります。常に電気が来ていることを考えてください。
このような場合.どうしてもりれーの出力側に電気が来ない方法は.ちょっと変わったリれー回路をくみます。

単に電気が来ていることを示すネオン管がつかないようにするには.表示灯をネオン管ではなく.ナツメ電球等にする方法があります。
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この回答へのお礼

この度は,色々と教えていただき,また考察していただき,大変ありがとうございました。
スナバ回路につきましては,取り外しても問題ないとのことですので,外してしまいました。
これからもお世話になることがあるかも知れませんが,どうかよろしくお願い申し上げます。

お礼日時:2001/12/02 23:34

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例えば:
http://www.jeea.or.jp/course/contents/01131/
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace1.htm
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math//category/bibun/Laplace-henkan/henkan-tex.cgi?target=/math//category/bibun/Laplace-henkan/index.html

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抵抗R=80Ω
で電流を求めるんですが周波数がわからないのにどうすれば求められるのでしょうか?

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コンデンサXc=20Ω
リアクタンスXL=100Ω

は、周波数まで含んだ値です。

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ω = 2パイf  (f:周波数)
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そこで問題となるのは発振回路なのですが、ウィーンブリッジ正弦波発振回路(http://www.interq.or.jp/japan/se-inoue/ckt18.htm)でよろしいのでしょうか?

もしこの発振回路で良い場合、ランジュバン振動子の仕様が例えば
周波数 40kHz
入力電圧 1.0Vrms
インピーダンス 35オーム以下
静電容 3300pF
最大許容入力電力 50W

だったとした場合、どのような点に注意して回路を組む必要がありますでしょうか?(なんとなく思うのは回路の周波数と振動子の周波数を合わせるのかなぁということぐらいです・・・)

電子工作に詳しい方、どうかよろしくお願いします。
また、回路についてよりよいものがありましたらお教えください。

Aベストアンサー

1.0Vrmsは、「測定電圧」であって、最大入力とは無関係ですね。

Z=35Ω、最大許容入力 50Wという条件から、電圧を計算すると41.8Vrmsとなります。
つまり、この振動子の最大能力を出すためには、41.8Vrmsの出力電圧をかけてやらなければならない、ということです。

一般のオーディオアンプでも、40kHzの再生能力は十分持っていますから、これを利用するのはよいのですが、問題はパワーです。

例えば4Ωで50Wというオーディオアンプは、14.2Vしか出せません。
14.2Vをかけてやったのでは、この振動子には5.8Wしか入りません。
ちなみに、4Ωで41.8Vrms出せるオーディオアンプの定格出力は437Wです。

概算ですが・・・
   4Ω  50W  14.1V  5.7W   437W
   8Ω  50W  20V   11.4W   218W
  16Ω  50W  28.3V  22.9W   109W

静電容量の3300pFは、40kHzで1.2kΩものハイインピーダンスですから、パワーアンプにとっては全く問題ありません。

最後に調整ですが・・・
35Ωとか40kHz(共振周波数)とかは大体の値です。
最も効率よく動作させるためには、実際に共振を観測しながら、最適値に持っていくことが望ましいです。

オシロで振動子への入力波形を観測しながら、40kHz付近で周波数を変化させると、ピークやディップが観測されます。
最も電圧が高くなる点(共振周波数)に固定します。

また、この点では、インピーダンスは必ずしも35Ωになっているとは限りません。
クランプ電流計を使って電流を測り、オシロの電圧を読み取ればインピーダンスが計算できます。
(電流、電圧はrmsに換算する必要があります。rmsで読み取れる電圧計、電流計があれば、それを使用するのがよいでしょう)

最終的に入力電力が、「最大許容入力電力を超えないように」設定する必要があります。

また、最後の最後になりましたが・・・(-_-;)
発振器はサイン波である必要はありません。
矩形波でも、振動子と共振してしまえば、サイン波になってしまいます。(多少の高調波は残りますが)
通常、超音波振動子は矩形波でドライブします。

デジタルICを使った下記のような回路が簡単でよいでしょう。
抵抗をVRに置き換えれば、周波数が変えられます。
http://wave.iobb.net/doc/digital/12.html

参考URL:http://wave.iobb.net/doc/digital/12.html

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Z=35Ω、最大許容入力 50Wという条件から、電圧を計算すると41.8Vrmsとなります。
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Q交流RLC回路のベクトル図の書き方で直列回路は「電流が等しいので電流を基準に書く」、並列回路は「電圧

交流RLC回路のベクトル図の書き方で直列回路は「電流が等しいので電流を基準に書く」、並列回路は「電圧が等しいので電圧を基準に書く」という説明をよく見るのですが

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各素子に流れる電流は向きも大きさも違うのではと思ったのです

「電流が等しいので」「電圧が等しいので」とは一体何が等しいのでしょうか。

また、全てのベクトルを1つにまとめると訳のわからない図になってしまいます。
どこが間違っているのでしょうか
抵抗の電流→IR
抵抗の電圧→VR
コンデンサの電流→IC
コンデンサの電圧→VC
です。

ICとVRは同相なのではないでしょうか
VCとICは90度ずれるはずなのに違ってしまいます

Aベストアンサー

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
  I2 = 10/(1 -j1) = 5(1 + j1) (普通は、j1 とは書かないと思いますがここでは、jの係数をはっきりさせる意味で書いておきます。)
  I = I1 + I2 (計算してください。)
となります。この電流をもとに、各素子の電圧を求めると、

  VR = 3 x I1 = 6(3 - j4)/5, VL = j4 x I1 = 8(4 + j3)/5
  VR' = 1 x I2 = 5(1 + j1), VC = -j1 x I2 = 5(1 - j1)

となります。
あなたの疑問を解決するためには、少し回り道ですが、これらの値でいくつかのベクトル図を描いてみてください。

まず、I1 を複素平面に描く。それから、VR, VL を同じ複素平面に描く。すると、I1 と VR とが同じ向きになっていることが分かると思います。VL は、VR(I1) から、+90度回った方向に描かれていることもわかると思います。そして、2つの電圧を合成した結果は、10 + j0 となっているでしょう。
同じことを、I2, VR', VC でもします。すると、VC は、VR'(I2) から、- 90度回った方向に描かれていることが分かると思います。

今描いたベクトル図を、電流基準で見直します。ということは、ベクトル図の電流方向に実軸を合わせて、ベクトル図を見るということです。すると、電流、電圧の関係は同じでも、なんとなく見え方が違っていることが分かると思います。

これで、どうでしょうか。

並列回路の場合、各枝の電流が違っていますから、そのうちのどれかを基準にして、ベクトル図を描くのは良い方法ではないことが分かります。各枝の電圧は同じですから、それを基準にベクトル図を考えるのが良いということも分かると思います(ただし、慣れていないうちは、混乱するから、ベクトル図を描くときには、電流を基準にして描くことにしておいた方が安全だと思います)。

No. 2 です。 
2/12 の並列回路の図の数値がはっきりしませんが、一応、コイルの側の枝について3Ωの抵抗と4Ωのコイル、コンデンサ側の枝について1Ωの抵抗と1Ωのコンデンサとしておきます(コンデンサが√3Ωのようにみえるが、回路の右のベクトル図から見ると、1Ωのように見える)。惜しいところで、計算を間違えているようです。
ということで、計算してみると次のようになります。

この回路について、I1, I2 を求めると、

  I1 = 10/(3 + j4) = 2(3 - j4)/5
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5V、500Hzの方形波で実験を行ったのですが、実験値と理論値とでは誤差がかなりでてきます。
実際の計算としては、

測定値 15[μs]の時、8.26[V]
理論値 15[μs]の時、1.59[V]

となってしまいます。
求める電圧の式は

Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

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測定値 15[μs]の時、8.26[V]
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となってしまいます。
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Ec=E(1-exp(-αt)(α/β*sin(βt)+cos(βt)))

であってるはずです。

α=R/(2L),β=1/(2L)*√(4L/C-...続きを読む

Aベストアンサー

#3お礼欄に関して
(計算は数式処理ソフトでやったので、個別の数値は出していないんですが)αもβもそれくらいの数値になるかと思います。
で、t=14μ秒くらいで、βt=πになるので、sin(βt)=0,cos(βt)=-1,
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Q正弦波の合成

誠に恐縮ですが

同じ正弦波が 2個あって、ひとつを 90度遅れの位相で 合成したとき、得られる波形は 正弦波でしょうか?
それとも、「ひとこぶらくだ」のように 崩れる?

よろしくどうぞ

Aベストアンサー

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦波を加算した場合、
・位相のずれはδ/2(中間の位相)で
・振幅は2cos(δ/2)倍
の正弦波になります。今回の質問(位相差90度)の場合は、結果は「45度遅れて位相が√2倍の正弦波」です。

計算は省きますが、もうちょっと一般化すると、
「同一周期」で、位相・振幅の異なる正弦波を加算した場合、その結果も正弦波になります。

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

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