傘型積分

バームクーヘン分割求積は知ってるんですけど、傘型積分は見たことがありません。知る必要は無いということらしいのですが、どうも気になって・・・

傘型積分の一般式や、どういう考え方をしているのかなど教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/16 03:31

＞y=x^2 とy=xで囲まれた部分を直線y=xの周りに1回転させてできる立体の体積Vを例にして教えてください。

y=x軸の周りの回転なら、これって傘型じゃないですね。紡錘形です。
これ（y=xの周りの回転体）は質問のバームクーヘン型や傘型でもない立体になり質問の主旨と大幅に乖離することになります。もし必要なら別の質問としてください。ただし、積分を解くと V=11π√2/4 となります。

y軸の周りの回転（またはx軸の周りの回転）なら傘型の立体になります。
y軸の周りの回転として説明します。
y軸の周りに回転なら上下にひっくり返った傘型ですね。

0≦y≦1の範囲でyの高さでの回転体の断面は真ん中に穴の開いた円盤になり、外側の半径r1＝√y,内側の半径r2＝yとなります。穴あき円盤の面積S(y)は
S(y)＝π(r1^2－r2^2)＝π(y-y^2)
したがって、y=x^2とy=xで囲まれる図形をy軸の周りに回転した「傘型立体の体積」Vは次式で与えられます。
V=∫[0->1]S(y)dy＝π∫[0->1](y-y^2)dy
＝π{(1/2)(y^2)-(1/3)y^3)}[0->1]
＝π{(1/2)-(1/3)}＝π/6

なお、A#3さんの前半のy軸の周りの回転立体が薄い厚みdxの円筒を厚み方向（x軸方向）の積分になります。

また、y=ax軸の周りの回転立体の体積積分は回転軸に直角方向の半径の円板でするのが普通ですね。（x,ax）,(x,f(x))を結ぶ厚さdxの円板がy=axに直角方向の円板でなくy=axの周りの回転とすると微小な傘でしょうか。通常このような積分が変則です。積分結果が正しくでるなら良いでしょうけど。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2005/11/13 12:32

全く別のやつかもしれませんが、、、

曲線y=f(x)をｘ軸の周りに回転した立体の体積は、∫πf(x)^2dxとなりますよね。
これは、(x,0)と(x,f(x))を結ぶ厚さdxの微小な長方形(線分を太くしたもの？)をx軸の周りに回転させてできる微小立体を足し合わせる、という考え方をしていますよね。
直感的には、立体の断面積にdxの厚みを持たせて、これを足し合わせている、といった感じになるとおもいます。

同様に、ｙ軸の周りに回転した立体の体積は(バームクーヘンの考え方だと)、∫2πxf(x)dxのようになりますよね。
(x,0)と(x,f(x))を結ぶ厚さdxの長方形をy軸の周りに回転させてできる微小な立体を足し合わせる、という考え方をしていますよね。
こっちも、直感的には、円柱の表面積に厚さdxを持たせて足し合わせる、という感じになりますね。

まぁ、どちらも、
回転させる図形をy軸に平行な直線で細かく切る
→y軸に平行な厚さdxの長方形ができあがる
→この長方形を軸の回りに回転させる
→この長方形が作る立体の体積を足し合わせる
という考え方をしているのが分かると思います。

で、場合によっては、直線y=axの回りに回転させたいこともありますよね。体積の求め方はいろいろあると思いますが、例えば、上の考え方と同じように、
(x,ax)と(x,f(x))を結ぶ厚さdxの長方形をy=axの回りに回転させてできる微小な立体を足し合わせる、という考え方もできそうですよね。
直感的には、円錐(の側面)の表面積に厚さdxを持たせて足し合わせる、という感じになります。

「(x,ax)と(x,f(x))を結ぶ厚さdxの長方形をy=axの回りに回転させてできる微小な立体(＝円錐の側面)」が、ちょうど傘(の布の部分)のような格好をしているので、「傘型積分」という名前がついていてもおかしくはない気がしますが、はたして、これが「傘型積分」と呼ばれているものなのかは知りません。あしからず^^;

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/13 04:51

#1です。

補足しておきます。
バームクーヘンでも傘型立体でも
水平面で切断した断面積をS（ｙ）とし、その立体がy=0から高さy=hの範囲に存在しているとすれば、その立体の体積は次の式で与えられます。

V=∫[0→h] S(y)dy

バームクーヘンの場合だと真ん中の孔の半径r1,外側の半径r2、高さhとすれば、
S(y)=π{(r2^2)-(r1^2)}
V=∫[0→h] S(y)dy=πh{(r2^2)-(r1^2)}
となります。
x=y=0の平面での切断面はy軸に対称な2つの長方形ですｊね。

中をくりぬいた傘型の円錐の場合を考えてみると
x=y=0の平面での切断面はy軸に対称な2つの三角形で
第一象限の三角形を
x軸とy=(x-r2)+hとy=(x-r1)+h (ただし、r2>r1>0)で囲まれた領域とします。
高さyの水平面での立体の切断面の面積S(y)は
断面の穴あき円盤の外半径が{(y-h)+r2}で、
内半径が{(y-h)+r2}となりますから、
S(y)=π[{(y-h)+r2}^2 -{(y-h)+r1}^2]
ですね。これを
V=∫[0→h] S(y)dy
に代入すれば、傘型中空円錐の体積を求めることができます。

別にS(y)が求まれば必ずしもy軸の周りに回転したような立体でなくても体積Vの計算はできますね。

No.1 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/12 23:24

抽象的な質問を投げるのでなく具体的な図形の寸法または形状をどの軸の周りに回転した立体の体積とか、またはグラフの式を示して囲まれた領域をy軸の周りに回転した時の体積など

具体的に補足質問として書いてください。

この回答への補足

あやふやな質問ですみませんでした。

じゃy=x^2 とy=xで囲まれた部分を直線y=xの周りに1回転させてできる立体の体積Vを例にして教えてください。

多分体積はΠ√2/60になると思います。
普通に計算して出しました。

補足日時：2005/11/15 23:41