Infitite series どなたかご教授ください。

以下のような問題があります。

S=Σ(n=1-->∞) 1/n^2　 -(1)

とする時、

Σ(n=1-->∞) 1/(2n+1)^2　-(2)

Σ(n=1-->∞) (-1)^n/n^2 -(3)

をSを使って表せ。

解答：
(2)は(1)の最初の２項、1と1/4の後の1/9から一つ飛ばしの数列なので、{S-(5/4)}/2　なのですが、解析学の観点からしてこれは解答として十分でしょうか？

(3)はちょっとややこしすぎてここでは書けませんが、Abel'formula を使ったところ答えが -1　となりました。これはExcelを使ってn=60000 まで推定した-0.82247 とかなり違いますが、やはり-1が間違いなのでしょうか？

どうぞご教授お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2005/11/28 16:14

S=Σ(n=1-->∞) 1/n^2　 -(1)

とする時、

Σ(n=1-->∞) 1/(2n+1)^2　-(2)

Σ(n=1-->∞) (-1)^n/n^2 -(3)


R=Σ(n=1-->∞) 1/(2n+1)^2とすると

S-R=1+1/4+1/16+1/36+・・・+1/(2n)^2+・・・
=1+1/4(1+1/4+1/9+・・・+1/n^2+・・・)=1+1/4*S

∴R=3/4*S-1

T=Σ(n=1-->∞) (-1)^n/n^2 とすると

-T=1-1/4+1/9-・・・=1+R-1/4(1+1/4+1/16+1/36+・・・+1/n^2+・・・)
=1+3/4S-1-1/4S=1/2S

T=-1/2S

ですね。

この回答へのお礼

返事が大変遅くなってしまいましたがみなさんご回答ありがとうございました。参考にさせていただきました。

お礼日時：2006/01/08 13:37

No.3 回答者： ryn 回答日時： 2005/11/28 13:09

直接の解答ではないですが，

(3) は Σ(n=1-->∞) 1/(2n)^2 をSで表したものと
(2) の結果を使えば，
　(-1/2)S
となります．

ここで，S は
　S = π^2/6
となることは有名です．

すると，
　Σ(n=1-->∞) (-1)^n/n^2
= (-1/2)*(π^2/6)
= (-1/12)*π^2
≒ -0.8224…
のようになるので，エクセルが正しいですね．

No.2 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/11/28 13:02

(1)S=(π^2)/6

(2)級数和　{(π^2)/8}-1
＞(2){S-(5/4)}/2
={(π^2)/12}-5/8
となり正しい和と一致しませんね。
つまり間違っています。

(3)級数和　-(π^2)/12≒-0.8224670334241132182362075834
＞これはExcelを使ってn=60000 まで推定した-0.82247 とかなり違いますが
こちらが正しいですね。

＞やはり-1が間違いなのでしょうか？
間違いです。

（計算には数学ソフトMathematica使用しました。）

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2005/11/28 12:59

(3)の結果は -π^2/12 でしょう.