電磁学の問題《磁気：ソレノイドコイル》

問.半径ｒの無限長ソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻数Ｎ）に電流Ｉが流れている。このコイルに作用するコイルの他院長さあたりの軸方向の電磁力Ｆを求めよ。

コイルの半径方向の電磁力なら仮想変位法で求められそうですが、軸方向となるとそもそも力が働いているのかどうか怪しくなってくるような気がします。

アドバイスだけでもいいのでどなたかお願します。

No.15 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/01 00:59

新年になってしまいました。

皆様今年もよろしくお願いします。

foobar さん
ABCDEF線輪の相殺の話は了解です。私も気になっていて、「張力」というものが畳み込み積分的にどうなるか考えて混乱しました。しかし張力の観測の為には必ず切断という操作が必要なのではないでしょうか。どんな張力でも同様だと思いますが、バネばかりを入れるには切断しなければなりません。ABCDEF線輪の例では、切断個所をCD間にとれば、張力はABCの作る磁界に対するDEFの電流のローレンツ力という事ではないでしょうか。

＞有限長ソレノイドの場合でも中心付近では電磁力が相殺している

左右対向させて２つの線輪を考えます。これは引き合います。では左右の線輪を２本づつの組にする。これも引き合い、力は増加します。線輪の数を増やし左右にソレノイドを徐々に延長構築していくと、引っ張り合う力も大きくなりそうですが、ある長さから零に向かって小さくなるという事でしょうか。そうすると、吸引力最大の為の、断面径：ソレノイド長　比があると考えざるを得ません。無限長に至る場合も同様です。果たしてそうでしょうか。もっと端的に、同じ形状の電磁石同士は吸引しない、あるいは空芯だと吸引しないという事になってしまいませんか。

なお、イメージに食い違いがあると残念なので確認させていただきます。あなた様の「圧縮電磁力」「軸力」、私の「吸引力」「張力」は同じものと考えております。またコイルは隣どうし密に巻かれるか、ボビンに巻かれ、機械的に結合され、かつ他の構造物から完全に浮上していると考えております。

No.14 回答者： foobar 回答日時： 2005/12/31 23:54

(#13で#10さんのと書いたのは#11さんの誤りです訂正します。

)

vq100mgさん
有限長だと圧縮なのに無限長だと圧縮にならない
隣り合う線輪同士は引き合っている
ABCDEF
と線輪があって、
Eを中心に考えると、
ABCDすべて右向きに引っ張られていて（Eから見ると圧縮）、
で引っ張られる力はA<B<C<Dですよね。
これはAの立場からするとBCDが離れていくように見えるわけで、
ソレノイドの中心付近では
自分を中心に圧縮する分と
他の線輪により自分から引き剥がされていく分
が相殺している
と考えてはいかがでしょう。

有限長ソレノイドの場合でも中心付近では電磁力が相殺している(JXBが外向きで軸方向の成分が0)というのは留意する必要があるかと思います。
（これは、仮想変位でも次のように説明できるかと
x=x1で切断しδx離した場合と
x=x2で切断しδx離した場合で
エネルギーは同じ
＝x1からx2の間で軸方向の力の積算が0
＝x1からx2の間で軸方向の電磁力成分が0
で示されるかと）
で無限長の場合にはx1からx2が無限長に渡っていると
）

ということで、有限長ソレノイドでも、軸方向の圧縮電磁力を出しているのは主に端部付近ということになるかと思っています。
（で、無限長ソレノイドだと、この端部付近が無いと）

No.13 回答者： foobar 回答日時： 2005/12/31 23:10

（まったく力が加わらない、て言ってるんじゃなくて、軸方向の力が0って要ってるだけです、念のため）

δx引き離して、そこにB、Hの磁界を持つ空間ができたとしても、コイル全体の磁界分布は「変化が無い」んです。なんせ、「無限長」のソレノイドですから。
（δxの分だけ磁気エネルギーが増える、というのは無意識（暗黙）のうちに有限長のソレノイドを仮定していることになります）
で、軸方向にコイルを動かしてもエネルギーは変わらない→軸方向の電磁力0、となると。（で、これは電磁力JXBがソレノイド径方向を向いていて、軸方向の成分0と整合していますし、磁気圧が磁束と直角方向に作用するというのとも整合します。）

環状ソレノイドの場合には、体積が有限なので、円周をδxだけ伸ばすと（というか本当は環状の径（大半径）RをδR増やすと、という方が適切なんでしょうけど)、その分磁気エネルギーがきちんと増えて、相応の電磁力が発生すると。
ただし、この電磁力はソレノイド軸方向（環状の周方向）というよりは環状の径方向（大半径方向）に働くというほうが適切でしょうね。（コイル1ターン分の電磁力を積算すると、電磁力はソレノイドの軸方向ではなくてトーラスの大半径方向を向いています。（トーラス径をδR増やすとしたほうが適切というのは、このため。）
だもんで、トーラス大半径方向に支持してやれば、トーラス周方向（ソレノイド軸方向）の支持は不要になると。

余談
電流が軸方向に均一に流れる場合には、#10さんの回答にあるように電流を収縮させる向きに力がかかるので、両者をあわせて45度の角度でソレノイドを巻けば力が加わらない（正確には、巻き線の傾きを変えるような力（転倒力）がかかってるんですが）ソレノイドコイルができると。（このソレノイドの内側は軸方向の磁束が、外側には周方向の磁束ができていて、コイルの面で磁気圧がバランスする構造になるのだったかな）

No.12 回答者： vq100mg 回答日時： 2005/12/31 22:37

foobar さん、実は私も「無限長」にはスッキリしないものがあります。

しかし次のように解釈しています。

＞Bが軸方向に向いているので、電磁力の軸方向成分は発生しないような

確かにある一つの線輪に着目すれば力は働いていません。左右の線輪の作る各磁界と中央線輪電流のローレンツ力が力の段階で打ち消していると考える事も、またもともと磁界の段階で径方向が打ち消されて零だからと考えることもできるでしょう。しかし逆に、ある一つの線輪が両脇に作りだす磁界に着目し、左右にずらっと続く線輪郡の線輪電流が受ける力を考えたらどうでしょう。すべて吸引方向にあります。そして任意の部分線輪を中央にして全域で、同等の吸引状況が成り立つと思われるのです。左右両方から手を引っ張られれば力は相殺されていますが、張力がないのとは違うと思うのです。

＞もともと軸方向に無限遠の長さをもってるので、ソレノイドの一部を切って軸方向に伸ばしても磁束の空間は増えません（もともと無限長、すなわち無限大の体積を持っているので）。これが、有限の体積をもったソレノイドや、環状ソレノイドと大きく違うところかと。

ソレノイドの単位長あたり巻数は一定としましょう。断面径と長さの比により、切断部の効果が異なる事は存じてます。しかし、例えば、１：１０　と　１：無限　との違いは僅かでしょう。それらの磁石の吸引力に大した違いがあるとは思えないのですが。この比が大きくなるにつれ、僅かに強くなる磁界とは裏腹に、吸引力がどんどん弱まると仰っているのでしょうか。無限長、無限大の体積、無限大の系エネルギを持っているにせよ、Δ分は依然として有効なように感じます。私もスッキリしませんが。

No.11 回答者： epalette 回答日時： 2005/12/31 21:43

leibnizさんこんにちは。

年の瀬に電磁気学の教科書に乗っている問題になぜ延々と長い勿体が付いているのか不思議ですね。力が作用しないと説いているおふたかたはフレーミングの法則で考えて左右対称だとお考えでか。電磁気学に則っておればこれはどんな筋道でも解けます。設問にある単位長には明確な意味がございます。面電流密度で捉えるのもいいですね。電流が流れてるプラズマなどが縮む現象はピンチ効果ですね。電流の方向にご注目。コイルの径が細くなるのとは違いますよ。力はF=I^2/2の形です。電流が密度なら単位長ということが何の意味を持つｋお分かりかと。それではよいお年を。

この回答へのお礼

回答有難うございます。
この問題確かに教科書に載っていそうですね～。
ただ、こういった些細なことで議論するのはよいことだと思うので皆様には非常に感謝しております。

お礼日時：2006/01/02 11:35

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2005/12/31 21:05

＃６さんのお礼について、気になる点を

＞コイル内部の磁束密度ＢはB=B[1]+B[2]=μ[0]NI
アンペールの法則はこのような和をとるものではありません（なんで上下だけ？）。これは微少部分に対するビオ・サバールの法則の考え方になります。
B=μ[0]NIの説明はアンペールの法則を使っても別の論理です。

＞『ΔΦ/Δl=・・・』の形にもっていけません。
前回も同じですが、私なら「l」について微分します（簡単です。Δlの2次の項などを省略しても同じですが）。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞アンペールの法則はこのような和をとるものではありません（なんで上下だけ？）。

B[1],B[2]以外に和のとりようがない気がしますが...。
（アンペールの法則の適用でB[1]を出していますが、縦方向は微小長さしかとっていないため、ゼロなので省略しました）

＞前回も同じですが、私なら「l」について微分します（簡単です。Δlの2次の項などを省略しても同じですが）。

微分すると簡単ですね。
ただ、真意は『ΔΦ/Δl=…』の形には一応はもっていくことは出来るのだけれど、『l』が答えに入ってくるのはまずいのでは...と考えたからです。

お礼日時：2006/01/02 11:29

No.8 回答者： foobar 回答日時： 2005/12/31 20:45

若干補足とコメント

補足
もちろん、磁束をある空間に閉じ込めるにはそれなりの応力がどこかに必要です。
無限長ソレノイドの場合には、コイルを径方向に広げる力が働いていて、これを支える応力が磁束に対応した応力になるかと。

コイルの1ターンだけを軸方向に移動したばあい
この場合には、その1ターンの部分で磁束が（無視できない程度に）乱れるのでそれによる軸方向の力は出るでしょう。（このとき、力は擾乱を大きくする（1ターンをさらに移動する）向きに働くような気が、、。）
（無限長ソレノイドを切り離すケースでも、切り離した部分で磁束がソレノイド外側に向かって膨らむ効果を考えると、軸方向の力は発生します。
が、、、この力は上記同様ソレノイドをさらに引き離す向きに働くような、、。）

＃無限長ソレノイドの巻き線は軸方向に不安定な電磁力平衡でいいのかな、、。

No.7 回答者： foobar 回答日時： 2005/12/31 20:19

もうひとつのポイントは「電磁力」の意味するところでしょうか。

無限長と環状ソレノイド
この対応はちょっと気をつける必要があるかと。
環状ソレノイドだと支持しないと電磁力で大半径方向に縮小しますので支持する必要がある（応力が当然発生するし、これを円周方向の圧縮で支持すれば円周方向の圧縮応力が働く。もっとも円周方向は応力0で大半径方向（＋小半径方向）の支持で済ませることもできます）のですが、無限長ソレノイドの場合線輪自体にかかる電磁力が軸方向にはバランスしているので軸方向の支持は特には必要ない、つまり、軸方向の応力は不要となるかと。
（細かいことを言えば、電線が軸方向に螺旋を描いている（ソレノイド円周方向に対して傾きがある）ので、ソレノイドの円周方向に力が発生して、それを支持するだけの応力が必要になるのですが、ここでは割愛）
（無限長ソレノイドの状態を環状ソレノイドで表現すると、円周方向の応力0、大半径方向の応力で形状を維持している環状ソレノイド（しかも、半径が無限大なので、大半径方向の応力が0になっている）状態かと。）

で、ソレノイドの一部を切って軸方向にわけたら、、
ここが無限長ソレノイドのいやらしいところかと。
もともと軸方向に無限遠の長さをもってるので、ソレノイドの一部を切って軸方向に伸ばしても磁束の空間は増えません（もともと無限長、すなわち無限大の体積を持っているので）。これが、有限の体積をもったソレノイドや、環状ソレノイドと大きく違うところかと。
（＃３で書いた、仮想変位の項はこれをイメージしています。
もともと半径Sで磁束密度Bの空間が軸方向に無限大に伸びているので、途中をΔx伸ばそうが関係ない、と）

ちょっと見方を変えると、有限長ソレノイドや環状ソレノイドでは磁束は必ずループを描いていて、ループが小さくなるように力が働く、のですが、無限長ソレノイドの場合磁束がループを描かない（奇妙な話ですが、、コイル内を軸方向に走る磁束は、どこまでも軸方向に走っていて戻ってきません、、）ため、ループを縮めるような電磁力が働かない（働きようがない）、という見方もできるかと思います。

No.6 回答者： vq100mg 回答日時： 2005/12/31 15:33

ANo.4　ですが、真意が今ひとつ理解していただけなかったかもしれませんので、もう少し具体的に書いてみます。

軸方向に働いている力とは、この無限長ソレノイドを、任意の位置で分断しようとした場合に観測できます。どの位置の断面であっても H = nI [A/m]（n：単位長当たり電流）ですから、引き離そうとした時にギャップに生じるエネルギは 1/2 μ H^2 S δx つまり力は、1/2 μ (nI)^2 S [N] であろうという事です。通常の電磁石の問題と同様です。

無限長であるか否かは本質的でないと思います。ゴムひもの一部が左右からの力で均衡して動かないからといって張力（応力）が働いてないわけではありません。部分要素１点に働く力ではなく２点間に働く力に注目すべきでしょう。つまり一つの線輪に働く力では無く、線輪間に働く力です。

前回、「ギャップを作る仮想変位に抵抗があるならば環状ソレノイドの長さを均等に伸ばした場合を考えて・・」と述べましたが、この方法で力を計算してみましょう。同時に、ANo.5さんが力の原因とされる端部が排除されています。全巻数Ｎ、周長Ｌとすれば、H = NI/L [A/m]、この環状ソレノイドに蓄えられた全エネルギは、1/2 μ H^2 S L つまり　1/2 μ (NI)^2 S / L です。周長を微小変化させるという考えで Lに関する微係数を求めれば環にかかる張力です。結果は無限長ソレノイドに一致します。

この回答へのお礼

＞無限長であるか否かは本質的でないと思います。ゴムひもの一部が左右からの力で均衡して動かないからといって張力（応力）が働いてないわけではありません。部分要素１点に働く力ではなく２点間に働く力に注目すべきでしょう。つまり一つの線輪に働く力では無く、線輪間に働く力です。

有限長か無限長かで吟味の必要性があるかどうかは、恐らくこの問題の有限長バージョンがあるので（^^;;）あるかと思いますが、vp100mgさんの部分要素一点に働く力ではないということからこの問題の意図が漸く見えてきました。（感謝です

一応、自分でやってみたのですが、途中でうまく行かなかったのでどこがおかしいかみて下さいm(_ _)m

　　　　　|←l →|
　　　　＿＿＿＿
×××|×××|××××
　　　　――――
　　　←B[1]
←Ｂ
　　　←B[2]
　　　　＿＿＿＿
◎◎◎|◎◎◎|◎◎◎◎
　　　　――――

※電流は◎は裏から表、×は表から裏でループを描いて流れています。

図のように、長さlのループを考え、そこにアンペールの法則を適用すると

∫B[1]dl=2B[1]l=μ[0]NlI

　　B[1]=μ[0]NI/2

同様にして

　　B[2]=μ[0]NI/2

よって、コイル内部の磁束密度ＢはB=B[1]+B[2]=μ[0]NI

従って、単位長さ当たりの全鎖交磁束Φ=BNS=μ[0]π(r^2)(N^2)(I^2)

ここまではあっていると思うのですが、
ここから、N=n/l (n:l中の電流の本数)を代入し、Δlだけ軸方向に仮想変位させると

　　Φ'=μ[0]π(r^2)I(1/{(l+Δl)^2})n^2
　　Φ=μ[0]π(r^2)I(1/l^2)n^2

となりますが、

　　ΔΦ=Φ'-Φ=μ[0]π(r^2)(N^2)I{(Δl+2l)/(l^2+2lΔl+Δl^2)}Δl

となって、『ΔΦ/Δl=・・・』の形にもっていけません。

お礼日時：2005/12/31 17:36

No.5 回答者： foobar 回答日時： 2005/12/31 11:09

ポイントの一つは、ご質問中の「『無限長』ソレノイド」の「無限長」かと。

有限長のソレノイドなら
・必ず端部がある
・磁束が軸方向より少し傾く（特に端部付近では顕著）
ので軸方向の電磁力（収縮方向）が働きますが、無限長ソレノイドだとそれがないかと。
（無限長ソレノイドでは、コイル全体を考えることはできなくて、どうしてもコイルの一部分に着目した検討しかできないかとおもいます）

この回答へのお礼

ポイントですよね。
有限長であるか無限長であるか。
実は、この問題を有限長に変えただけの問題がまだ残ってます^^;;

お礼日時：2005/12/31 17:37