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問.半径rの無限長ソレノイドコイル(単位長さ当たりの巻数N)に電流Iが流れている。このコイルに作用するコイルの他院長さあたりの軸方向の電磁力Fを求めよ。

コイルの半径方向の電磁力なら仮想変位法で求められそうですが、軸方向となるとそもそも力が働いているのかどうか怪しくなってくるような気がします。

アドバイスだけでもいいのでどなたかお願します。

gooドクター

A 回答 (44件中1~10件)

後半部分、仮想変位のさせ方が把握できませんが、次のように単純に考えたらいかがですか。


ソレノイドを下図のように分断しようとするに必要な力を求めるのです。

    |←δx →|
    ____
×××|・・・・・|××××
    ――――

   ←B、H

    ____
◎◎◎|・・・・・|◎◎◎◎
    ――――

ギャップ δx が僅かであれば、BやHは変化しません。S掛けるδx という円柱体積中には、1/2 BH S δx というエネルギが生まれる事になります。このエネルギの源流は引き離す時にした力学的な仕事だと考えるのです。H = nI [A/m](n:単位長当たり巻数)だから、F = 1/2 μ(nI)^2 S となります。

もし、1/2 ΦI というエネルギの形を経由したいなら、先ほどと同じように Φ 一定のもとにギャップ円柱を露出するために、いくらの電流部分が取り除かれたか考えると良いでしょう。その電流値は、nIδx です。
つまりエネルギの変化は、1/2 Φ nIδx、従って力は、1/2 Φ n I 、Φ = Sμ(nI) を代入すれば、F = 1/2 μ(nI)^2 S となりますね。

「無限長であるか否かは本質的でない」というのは、有限だと力が働き無限だと働かないという極端な変化はないと言う意味です。有限の場合の力は、H = nI を有限の場合の値に置き換えれば良いだけでしょう。 ただし、ソレノイド径に対して、長さがあまりにも短いと、H やΦが一定という仮定は成り立たないので注意が必要です。(この方法では、厳密解よりやや大きめの力が算出される。)

なお、環状ソレノイドについて述べたのは、上のような特別な切断点を設けなくても良いからです。環の全周が均等に伸縮するモデルによって切断をウヤムヤにしても解として等しい力が得られる事を示したのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
これをヒントに解答が作成できそうです。

※他の方への『お礼』も必ず致しますのでもう少し考えさせて下さい。

お礼日時:2006/01/02 00:56

謹賀新年。

leibnizさんA#11でございます。まだ続いていることにいささか驚いております。私にまでもわざわざレスを頂いてどうもありがとうございました。お礼に少し日本の電気教育のことをお話ししましょう。昔は電磁気の諸現象は、力線の性質によるものであるとして説明されておりました。力線の性質とはゴムのように伸び縮みによって力を発揮し、互いは反発するという性質です。欧米ではこれは早い時期に、実体の無い歴史的遺物であるとして廃止され、場の理論の教育に置き換えられたのですが、日本ではその後においても習慣的に、特に実業教育界において伝承されておったのです。
leibnizさんは純正な場の理論で教育を受けておられるので、力線の性質に立脚した考えから種々の矛盾が湧くなどと話を持ちかけられても、理解は不可能でしょう。これは同床異夢と言えましょう。インターネット上におけるひとつの世代ギャップです。この力線の弊害から脱するのは困難が伴うようです。とくに社会で実務経験を積み、それが知識と化してしまっている熟年世代は、それをいったん捨て去るに等しい覚悟や努力が必要のようです。
課題のことは、指導教官からの指示が仮想変位を用いることとされておるなら、
δW=0が視野に入っておらないといけませんですね。仮想変位はエネルギー保存が原理でございますので。単位長というご指導の意味もそれに関係しますので。電磁的現象なのですからδW=0には電源も含まれておらないと物理的なエネルギー保存を満たしておりません。これの無限長の力線による説明は歯切れの悪い泥仕合と化すようです。しかし電源が入れば複雑になると無視して、式を出す技巧だけですと、やっぱり工学は技術屋かと物理の側から後ろ指をさされかねません。工学者としての矜持が問われます。
有限長ソレノイドにおいても総巻数n/全長bが、無限長ソレノイドにおけるNに相当することになります。磁束もれのことを度外視するならばこれが求められてる答のような気がいたします。
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ANo.37 のお礼欄にいただいたコメントに対してです。



>ここら辺の解決策はやはり、仮想変位は使えないに帰結するのですか...。(?)

私の leibniz さんへの回答としては「”使える”とお考え下さい。どうぞ使ってください」です。この立場は最初から変わりませんし、あなたの先生はそれを望まれている事と思います。foobarさんの提起されている事は演習問題の範囲を越えるものだと思います。しかしおかげ様で私はいくつも不可解な点がある事に気づきました。無限長と言わず有限長でも奇妙な感覚が残ります。しかしこの事については敢えて記述いたしません。議論が終結しそうにありませんから。 お付き合いありがとうございました。
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#38コメント


「単位長さ辺りの力を求めるのだから、端っこはあまり気にしなくてもいいのではないでしょうか?(つまりある単位長さあたりのみ注目すればいいかとおもいます)」に関して
端っこの問題は、結構大事だったりします。
(大抵の物理計算では、端っこはすべて0、という大前提が成り立ってるので、気にしなくていいんですが、、)

たとえば、仮想変位で力を計算する場合には、「仮想した変位だけで、エネルギーの変化が起きている(他のところとエネルギーのやり取りがない)」という大前提が必要ですが、端っこ(無限遠)で物理量が0になっていないと、この大前提が成り立っているのか保障できなくなります。(δxに対して、δWが一意に決まらなくなる。)
成り立っていると仮定して計算をする、というのは#38で書いた、1の立場で計算しているということになります。
(また、その場合でも、端っこの取り扱い方によっては、#36で触れたように、コイルを伸ばしたとき、磁束もコイルにくっついて伸びるの?といようなところでの問題が表れたりするのですが。)

余談
#37の2のように「無限遠で(磁束を含めて)物理量が0にならない」、というのを認めちゃうと自動的に無限遠から磁束の軸方向に力が加わるのを認めることになってしまって、計算しているところの磁束の力をコイル(の構造材)で支える必要がなくなってしまいます、、。
(同時に、コイル構造材に軸方向に加わる力も任意に設定できることになります。まあ、そのおかげで、仮想変位などで強引に計算した結果と矛盾が起きなくてすむのですが)
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1.
>> 確実に単位長さ辺りの力です。現に教授が『単位長さ辺りに働く力は・・・』っていってましたし...。教授が、ヒントくださいましたが、そのときも単位長さ辺りの力でした。 <<

 はい、なので「長さ1のコイル1個だけに仮想仕事を課す」を載せました。多分まだこの辺が腑に落ちてないだろうなと思ったので。 長さ1のコイル1個ずつに電流 I を供給する回路が付いてるのを連結です。(これで「無限長コイルのインダクタンスは無限大だから電流が立ち上がる時間も無限にかかって力は出ない」の類の話を排する効果もあります。)

そして、この力は「バネの復元力」とは違います。
バネの復元力は F =-Kδ
コイルの磁力は F =-B^2S/(2μ)
バネの方は変位δの±でFの向きが変わるが、後者の式にはδは居ない=常にFはマイナスなのですね。ひたすら縮みたがる。 それからIの2乗だからどっち向きの電流でも力は同じという電磁石の性質も。



2.
 解法は必ず「 磁場のエネルギを求め、それを微分する 」 という手順を踏んでくださいね、仮想変位の肝「 F=∂E/∂x 」が目的の課題ですから。私がこのQ&Aに書き込んだのはこれを言うのが目的でした。

  前問も面倒で大変だったでしょうが、実はこの手順に沿っていたのですよ。「変位前の値」として実は全エネルギを計算してました。
  Φ=-μI (d-√(d^2-a^2) )
を導出することに大汗したわけですが、インダクタンスの定義は Φ/I ですから、これはインダクタンスを求めていたのです。そしてエネルギは
  E = (LI^2)/2 = (ΦI)/2
ですから。Φ即ちエネルギです。
前問も「電流Iは一定」という設定なので
  F = ∂E/∂d = I∂Φ/∂d
となるので実質 ∂Φ/∂d だけをやっていたのです。ちなみに上記のΦの式を∂/∂すれば(目計算で)
  -μI(1-d/√(d^2-a^2))
が出ちゃいますねw

 いちいちδ使わずにエネルギをの式を求めて仮想変位の方向に偏微するだけ、ということです。前問は3回答で終結してましたが今回は長過ぎですね、もう先に進んだ方が良いかと思います、理工系は盆正月無いですよね。

 
 
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この回答へのお礼

流石にこの問題ばかり拘りすぎるとまずいので
これで終わりに致します。
皆さん、ありがとうございました。

お礼日時:2006/01/10 05:59

ANo.39さんのアコーディオン解析、おそらく補足が必要と思われますので、僭越ながら記述してみます。

全体的に難解かもしれませんが特に、

> δW =-Wδz
> よって
> F = δW/δz =-(μ/2)(NI)^2S
> を得ました。
> 1項と同じです。δzという具体的な変位を駆使したのでそれとFが符号マイナスの関係、即ち「縮む方向の力」だとわかりますね。

の部分です。δzをコイルを伸ばす向きにとったとしましょう。コイル内部のエネルギが減少したのにも関わらず、仮想仕事はプラスである事に関し説明が不十分かと思います。

> B'= μN'I = μNI/(1+δz) = B/(1+δz)

という記述やANo.35の内容から見て、電流一定で磁束が変化するモデルを使用されているものと推測します。その場合には、「内部の磁界エネルギは減少しているが、”仮想仕事の丁度2倍のエネルギが電源に返される”という性質があるからである」という但し書きか、証明が必要なように思います。

仮想変位を使うにあたって、磁束を変化させているので、注意書きが必要でしょう。
・電流一定下の解析:コイルと電源との間にエネルギのやり取りがある。
・磁束保存下の解析:コイルと電源との間のエネルギのやり取りは無い。ただし電流は変化。

コンデンサの例に対応させれば、電流一定は「電源によって電極間電圧一定で充放電あり」、磁束保存は「電源に繋がっていなくて、電荷保存のもとに電圧変化」です。

一番簡単に軸力を出す手法は、直線状ソレノイドならば「僅かなギャップを作っても磁束は不変に保たれるので」とした上で仮想変位によりこのギャップに出没するエネルギに着目する事でしょう。1/2 BH S Δx がシンプルですが、どうしても 1/2 ΦI の形を使いたいなら、ギャップ部分を示す:nIΔxという電流に対するエネルギを考える事です(ANo.10参照)。

もしもソレノイド全体をアコーディオンのように伸縮させたいなら、電源との間のエネルギ授受を含めて考えなければなりません。電流一定だとそれは避けられません。この面倒を避ける手段は電流一定を諦める事です。電流を流した状態で抵抗の無い巻線を外部で短絡してあるとしましょう。こうしてしまえば外部とのエネルギは遮断され、磁束が保存されます。これを条件にするとソレノイドの長さが(1+δ)倍になってコイル密度が下がる時は、電流が(1+δ)倍に拡大して磁束を補填する事がわかります。磁束は一定なのですから、1/2 BH 手法によれば全エネルギの増分が、伸縮Δxに対応した1/2 BHS Δx である事がすぐにわかります。1/2 ΦI に基づく方法もとれますが回りくどくなります。

なお磁力線の力に関し、アコーデオンの内部ですが、加圧状態になっていて径方向に圧力(Pa)を及ぼしており、さらに軸方向にゴムひもがあって、径方向の2倍の張力(Pa)で引っ張っているように思います。そう考えると環状においても説明が成り立つようです。
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 No.35で削った回答を一部載せます。(余談を加えました。)



3.無限長コイルの仮想仕事

→ まず、長さ1のコイルがあります → それは両端が開いてるので磁場Bが拡散して題意に沿わないので困ります → そこで名案;そっくりなコイルを2つ、左右にくっつけてください → 端での拡散が改善されました → しかし付けたコイルの開放端では相変わらずBが拡散しており、→ その影響が、付けたコイルを渡って来てます。→ では更に、付けたコイルの開放端にそっくりなコイルを付けてください‥以下これの無限連鎖‥
この課題が、学習過程にある貴方に要求する「有限長と無限長の違い」はこんな程度です。
( この考えは将来「伝送線路、終端」できっちり習います。)


 上記の状態で 最初の1個のコイルだけに 仮想仕事を課します。
その仮想変位は↓アコーディオン的な伸縮です。
http://www.library.yale.edu/~mkoth/accordion.gif
(余談;
なぜ1個だけ動かすのか? → 仮想変位は1個だけです。隣は動かしません。→ 全区間が同じ伸縮でないと無限長コイルの一様性を損なうのでは? → いや、左右のコイルは磁場Bを押さえ込む目的だけの当て馬です → しかし1個だけ変位させても隣りを押すから将棋倒し的に無限個のコイルが動いて… この種の、無限に幻惑された様々な論や疑問が湧くのなら仮想仕事の原理をまったく判ってないことになります、物理の教科書を見直しましょう>leibnizさん 余談終わり。)


コイルを=アコーディオン的に=伸縮させます。
(また余談; 巻線1本だけを左右に微小に移動してみる‥これ全くコイルの仮想仕事じゃないことに気づいてください、脱却してください>leibnizさん。いまのうちに「電流IがN本」を「電流密度」と見なす概念をモノにしておきましょう。そうすればコイルの伸縮は「塩水に真水を少し加えると濃さが変わりますよね?」程度のことでしかないのがわかります。「塩イオン1個だけを左右に微小に移動してみました‥」これ、濃度変化じゃないでしょ?)


アコーディオンが伸縮してもジャバラの凸凹の総数は変わらないですよね、コイルも同じで総巻数 N は伸縮しても不変です。でも長さが変わると「巻線密度」が変わります。長さが(1+δz)の間にN回巻かれてるから「単位長あたりの巻数=巻線密度 N'」は
  N'= N/(1+δz)  ですよね。
磁場は
  B = μNI  ‥(1)式再録
の「巻線密度 N 」が変化して
  B'= μN'I = μNI/(1+δz) = B/(1+δz)
に変化します。
(どうでしょう?「密度」のひとことの導入で N って何だったのかハッキリしました? )

以下、変位後の諸元にプライムを付けて書きます。

体積=断面積×長さは、
  V = S×1  から
  V'= S(1+δz) に。
たぶん leibnizさんにはこれも肝でしょうか。「単位長」の文言に縛られて「伸びたあと、長さ1の範囲を考える」ではないんです、そうしちゃうと伸びた分が隠し財産になっちゃう、∂W/∂z の W は伸びても縮んでもアコーディオン全体なのです。(これも仮想仕事の基本の理解にかかってますね。 今は頭痛いかも知れませんが 分ってしまえば「当たり前じゃねえか」と言うでしょう。)

アコーディオン内部の体積エネ全量は
  W = B^2 V/(2μ)  から
  W'= 途中は自力で = W/(1+δz)  に。

ゆえに、
  δW = W'-W
    = W(1/(1+δz)-1)
    = W(-δ/(1+δz))
δz<<1ゆえ分母は≒1
  δW =-Wδz
よって
   F = δW/δz =-(μ/2)(NI)^2S
を得ました。
1項と同じです。δzという具体的な変位を駆使したのでそれとFが符号マイナスの関係、即ち「縮む方向の力」だとわかりますね。 ふつう、引力であることは暗黙の基本常識なんで1項のように書きます。

--------------------

 続いて「4.有限長コイル」だったんですが貴方はコピペ狙いの学生と違ってちゃんと取り組んでるのでイントロを残せば自力でやれると思い削りました。というのもここのルール「学生の課題に答教唆は駄目」で私は何度も削除されてる常連なんです。でも正月だし半分だけならいいかなとw 有限長の方は、貴方が学んでのるが「長岡係数的」なのか「両端からの積分」なのかにも依りますのでご自分で。いずれにせよここから指呼の間です。




 余談;
電磁気学にはパラドックスを装った陥穽があります。有名どころはNマシンや相間などですが そこまで行ってしまわなくても感染すると発育が停止する「困った練習台」もあります、と言われても陥穽なので見えづらいんですよね。折りを見てNマシンや相間の論旨やキーワードとかを知っておくのも勉強になるでしょう。
 
 
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vq100mgさん、議論を#37でコンパクトにまとめていただいて有難うございます。



#37で
「foobarさんは無限エネルギの仮想変位の他に無限遠端からの力の伝播を心配されているようです。また端部の磁界の形がそうなっている事が保証されるのかという問題」
で端的にかかれていますが、「『無限長』ソレノイド」の無限長(端)をどう扱うか、というのが一番の根っこにあるように思います。

通常、物理では、「無限遠では全ての物理量は0」とします。
ところが、「無限長」ソレノイドでは軸方向にこの前提が破れてしまっています。(磁束や電流が0になっていない)
これを取り扱うのに二通りの手が考えられて、
1. 無限長ソレノイドの外側に全ての物理量が0である、「真の無限遠」が存在する、として扱う
2. 無限遠で物理量が0にならないことを(しっくりはこないけど)認めてしまう。で、その他の物理量は支障が無い限り(観測している場所で他の物理法則や現象に矛盾が無い限り)0とする。

1.の解釈なら、無限長ソレノイドの向こうにコイルの端部らしきものがあって、この部分がBHS/2(に一意になるかどうかは確認する必要がありますが)の電磁力を無限長ソレノイド軸方向に加えることになります。
2.の解釈なら、特に支障が無ければ軸方向の力を0にとっても良いことになります。

また、2.の解釈では、必要に応じて無限遠での軸方向の力を0以外にも任意に取ることも可能になります。1.の解釈は「任意の力はBHS/2となる」という意味合いだと考えても良いかもしれません。(2.の解釈では、この力はソレノイドコイルによる電磁力ではなくて、「無限遠から境界条件として加えられる力」として扱っている点は注意をする必要がありますが。)

#30回答欄の考え方に関してのコメント
単位長あたりの磁気エネルギの計算式に疑問点が有るのは、他のお二方のご指摘に有るので割愛。

余談1
まあ、ぶっちゃけて言うと、「無限長ソレノイドコイルの場合、コイルの中の磁気圧をソレノイドコイルが(電磁力として)軸方向に支える必要があるの?」ということになるかと。
(コイルじゃなくても無限長の水道管の中に圧力Pの水を張ったとき「水道管には軸方向に力が加わるの?」という問題と同じことになりますね。もちろん端部で蓋をすれば、蓋にかかる力が管に伝わって、管に軸方向の力がかかりますが。)
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この回答へのお礼

foobarさん、レスありがとうございます。

>『無限長』ソレノイド」の無限長(端)をどう扱うか、というのが一番の根っこにあるように思います。

単位長さ辺りの力を求めるのだから、端っこはあまり気にしなくてもいいのではないでしょうか?(つまりある単位長さあたりのみ注目すればいいかとおもいます)
端っこを気にする理由は、磁束密度Bにあると思いますが、無限長の場合はB=μ[0]NIですし、有限長の場合はソレノイドの長さをlとするとB=μ[0]NI/lだそうです。変なこといってたらすみません。

お礼日時:2006/01/07 02:36

leibniz さん、ANo.30のお礼欄に示された解き方ですが、



>単位長さ辺りに蓄えられる磁気エネルギーwは
>w=(1/2)IΦ=(1/2)μ[0]π(r^2)(N^2)I

この時点でおかしいかもしれません。あなたの選んだNやIの次元が確実に推定できませんが、電流の2乗がないので恐らく。

どうやら「単位長さあたり力」ではなくて、ANo.35さんのご指摘のように「単位長あたりの磁場エネルギという考えで力を求めよ」だったようですね。従って先ほどの部分に、すでに答えが書かれていなければなりません。なお答えは「力」であって「単位長さあたり力」ではありません。

回答はANo.35さんも推奨の「1.仮想仕事」にあるBH/2手法の方が簡単です。どうしても 1/2 ΦI というエネルギの形を経由したいならANo.10のようにやると良いでしょう。そこでも、まずBH/2から話を始めました。1/2 ΦI を使うのは錯覚しやすく、単位に関して十分な注意が必要です。

Teleskope さんが単位の重要性について述べられています。確かに重要です。ANo.4で述べましたが、leibniz さんの最初の疑問「軸方向となるとそもそも力が働いているのか」は「単位長さあたりの力」に錯覚させられたもののように思えるのです。確かに両端付近を除いて各部巻線に軸方向に動かそうとする電磁力は働いてないのです。foobarさんの仰るとおり両端付近からの圧縮応力が生じているだけです。
Teleskope さん紹介の図:
http://www.ele.auckland.ac.nz/~kacprzak/notes_fi …
の両端付近の磁束方向を見れば圧縮力の起源が直観できます。ただし、中央にもっと長い平行磁束部分をもつ長いソレノイドを想像して下さい。foobarさんは無限エネルギの仮想変位の他に無限遠端からの力の伝播を心配されているようです。また端部の磁界の形がそうなっている事が保証されるのかという問題も提起されているように思います。

ところで、

Teleskope さん、初めまして、

早速で恐縮ですがアコーディオンの伸縮のモデルに関心を持ちました。
私は「磁気圧」に疎いのですが、それは、磁力線同士が反発する力、すなわちソレノイドを径方向に膨張させる力ではありませんか。静磁気の性質として「1)磁力線同士は反発し、2)磁力線の長さは短くなるように、その発生源に力が働く」というのがあるようですが、軸方向は2)の方だと思います。ソレノイドの場合、径方向磁気圧[Pa]と磁力線張力[Pa]が大きさとしてはたまたま一致するようですが、正負が合いません。あなたのアコーディオンは減圧ではなく加圧すべきようにも思えます。私の関心事は、端部の仕掛けです。

>ジャバラが仕切られてて各室の減圧度が違う・・

私はANo.25 にゴムひも磁力線張力モデルを書いたのですが、端部に何か上手い仕掛けをしてゴムひもなしに、径方向膨張力と長さ方向圧縮力を両立させる方法はないでしょうか。
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この回答へのお礼

vq100mgさん、foobarさん、レスありがとうございます。

>単位長さ辺りに蓄えられる磁気エネルギーwは
>w=(1/2)IΦ=(1/2)μ[0]π(r^2)(N^2)I

ですが、本当に申し訳ないです。
w=(1/2)IΦ=(1/2)μ[0]π(r^2)(N^2)(I^2)
の間違いでした...。

それから確かに単位は重要ですよね。
議論が細かくなるとどうしても頭の中では整理しずらいため、一つのよりどころとして単位を利用しながら考察してます。
すると、あのような解答にいたったのですが...。

>Teleskope さん紹介の図:
http://www.ele.auckland.ac.nz/~kacprzak/notes_fi …

これを拝見させていただきましたが、確かにイメージしやすいですね。

>foobarさんは無限エネルギの仮想変位の他に無限遠端からの力の伝播を心配されているようです。また端部の磁界の形がそうなっている事が保証されるのかという問題も提起されているように思います。

ここら辺の解決策はやはり、仮想変位は使えないに帰結するのですか...。(?)

お礼日時:2006/01/07 02:31

無限長ソレノイドで仮想変位を使って計算するときには、「磁束と巻線の相互作用がどんなものなのか」をきちんと抑える必要が出てくるかと思います。



(磁力線をゴム紐に例えて、コイルの途中を伸ばせば磁束もコイルといっしょに軸方向に移動するようなイメージの説明がなされますが、これが本当に妥当かという点をきちんと押さえる必要が有るかと。)

磁束(磁束密度)は空間上の物理量で、巻線にくっついて移動するものではない、という立場で計算すると、無限長ソレノイドの途中を分離して微小量長さを変えても、磁束分布は変わらず、ソレノイドコイルには力が生じていない、という解になります。
(イメージとしては、無限長の磁束の棒の表面を摩擦0で巻線が滑べっているイメージに近いものになります。)

端部のある有限長のソレノイドなら、
・コイル切断部で磁力線(磁束)がコイルにくっついて延びる
・コイルと磁力線は滑べっている.コイルの端部が延びた分だけ端部付近の磁束密度が増加する
のどちらを使って計算しても同じ答えになるのですが、
無限長ソレノイドだと、両者で結果に違いが出ます。

(前者の立場で計算すると、磁気エネルギーがδx分だけ増えるので力が生じるが、後者の立場で計算すると磁気エネルギーに変化は無くて力は生じない)
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