電磁学の問題《磁気：ソレノイドコイル》

問.半径ｒの無限長ソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻数Ｎ）に電流Ｉが流れている。このコイルに作用するコイルの他院長さあたりの軸方向の電磁力Ｆを求めよ。

コイルの半径方向の電磁力なら仮想変位法で求められそうですが、軸方向となるとそもそも力が働いているのかどうか怪しくなってくるような気がします。

アドバイスだけでもいいのでどなたかお願します。

No.25 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/02 23:58

私のイメージの大枠を整理しておきたいと思います。

１）有限長ソレノイドの張力とはどのようなものなのか。
コイル（及びボビン）はサランラップの芯のような円筒で、磁束は内外を一周するゴムひもです。このゴムひもには張力がかかり円筒の両端に引っ掛かって、円筒を圧縮しています。円筒を切断し（ただしゴムひもは切断しない）、隙間に計器を挿入すれば、円筒圧縮力、つまりゴムひもの張力が測定されます。

２）上のモデルを無限長ソレノイドへどう拡張するか。
２－１）磁束の外部帰還を容認する場合
本質は１）の場合と変わりません。サランラップの芯と共にゴムひもの長さも無限延長するだけです。
２－２）端部の磁束の出入りをウヤムヤにしたい場合
ゴムひもを円筒の外を使ってあからさまに一周させるわけにはいきません。しかし内部に張られたゴムひもの両端はどこかに繋ぐしかない。自然な方法はなんでしょう。ソレノイド長が径の10倍にもなればΦ=nIに漸近し、少なくとも有限の範囲では、いくら伸ばしても円筒の圧縮力、つまりゴムの張力は変わらないと計算されます。この性質に着目すれば、切断計測部を跨ぐ遠くの２点で円筒内面に貼り付けてしまってもごまかせそうです。無限長に延長する過程で心配になるような大異変は避けられます。しかし、この張力モデルは容認できないという意見があるかもしれません。その場合は張力モデルは一切放棄します。ゴムひもは外してしまって、その代わりとして、切断計測部両端面の一方が放つ磁界と、他方の電流のローレンツ力で円筒の圧縮力（隙間にかかる力）を算出します。両モデルは排他的に使用するものです。

「張力、圧縮力、応力」すなわち切断しなければ測定できない２点間に掛かる力と、「真の力」（正式名称は知りませんが）すなわち１点を移動させるように加わる力を区別することが現象把握のポイントかと思います。

foobarさん、ANo.22とANo.24についてですが、

無限長ソレノイドを切って、AとBの二つに分けて、δxだけ引き離したら、AとBのコイルは・・・
＞この部分では二つの力を考える必要があるかと思います。
＞・ひとつは、vq100mgさんが書かれている、AとBが引き合う力
＞・もうひとつは、A単独やB単独で働く力

δxの場合、A単独やB単独で働く力（恐らく単独に周回しているゴムひもだと思いますが）、これは僅少です。ANo.14 において ABCDEF 線輪の例であなたも仰っています。切断したとは言え、ギャップが極めて僅かならそのような力の発生はないと思います。
それ以前に、不条理があります。ANo.24 で「A単独やB単独で働く力」はコイルの圧縮力だと述べられていますが、無限長ソレノイドにおいて圧縮力がないと言う説明に、無限の半分においては圧縮力があるとするのは、まずくないでしょうか。

No.24 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/02 20:22

反力を支えるものを考えるとすると

ちょっと説明しにくいのですが
無限遠側を固定(?)しているのは、無限遠側にあるコイルの(無限大の)コイル自体、というような説明になるような気がします。
(コイルAの反対側を自由端とすると（無限遠の自由端というのも妙な気がしますが）、収縮はコイルAの幾何学的な中心(これも無限遠にできます)に向かって起きます。この中心は移動しない（コイルAの圧縮力は内部力なので中心は移動しない）ので、ここが基準点(固定点)となるかと）

説明としては、コイルの巻き線を固定する構造材に働く力で説明するほうが適切かなと思います。
コイルAの端部付近には圧縮力が働き、これを支えるために、コイルAの構造には圧縮を支える力が発生します(必要になります）。
(圧縮力の向かう先は、上のケースと同様、無限遠にあるコイルの中心）
ここでコイルBを近づけると、Bによる電磁力がこの圧縮力を相殺して、全体として構造材の応力が0になると。

有限長ソレノイドの場合には、ABの突合せ部分に起因する応力が無くなって、コイルABの他端側に起因する応力がそのまま伝播して、切り離し部分に加わる（それまで反力として支えていたAB切り離し部分の応力が喪失するので)。

ということで、やはり最終結果は全体のコイルの端部の影響を受けてしまうかと思います。

No.23 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/02 14:07

無限遠方はウヤムヤにして切断面だけの現象に注目するというのが私の意図ですが、しかし無限遠方に着目しても問題は生じないと思います。

＞切り離したことで端部ができますので、A単独ではできた端部がコイルの反対側無限遠方に向けて引っ張られる

これは暗黙のうちに無限遠方を何か別の構造物に固定した結果ではありませんか。ソレノイドは宙に浮いている事を互いに約束しました。反対側無限遠方に引っ張るための反力は何が受け止めるのでしょう。

No.22 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/02 11:40

「無限長ソレノイドを、真ん中（？）で切って、AとBの二つに分けて、δxだけ引き離したら、AとBのコイルはどうなるか」

という設定ですね。
この部分では二つの力を考える必要があるかと思います。
・ひとつは、vq100mgさんが書かれている、AとBが引き合う力
・もうひとつは、A単独やB単独で働く力
切り離したことで端部ができますので、A単独ではできた端部がコイルの反対側無限遠方に向けて引っ張られる(Aのコイルとしてはちぢむ方向、ギャップδxで見れば、ギャップを開く方向)の力が加わるかと。（Bも同様)
で、AB並べれば二つの力が相殺して張力0でつりあっている、というのが張力0の立場からの説明になるかと思います。

#21での説明と異なる点は、後者の切り離したことでコイル半身自体に発生する力を織り込んだという点かと。で、これは無限遠点をどう取り扱うかを引きずることになるのではないかと。

No.21 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/02 03:50

無限長ソレノイドに関して複数とおりの答えが出てくる・・。

foobar さんは、最も受け入れやすい解として、軸方向成分=0　を推奨されたようです。しかし零でないと主張する向きもあるでしょう。その立場で、F = 1/2 μ(nI)^2 S が自然だと説明してみましょう。

端部効果は重要でおもしろいとは思うのですが、それをウヤムヤにしておく事もできます。張力測定の為にある部分を左右に切断しましょう。この間に作用する力は「左ソレノイドが単独で存在する時に端面から生じる磁界の形」と「右のソレノイドの線輪電流群」のローレンツ力として計算する事ができます（面倒でしょうが）。それは零ではありません。F = 1/2 μ(nI)^2 S に一致する筈です。

なぜ磁束のループが重要だとしながら、端部に触れずに張力が現れるのか。全体を通して掛かる張力は無限長ソレノイドの両端部を起源としたものではないのか・・。実は因果関係を全く逆にした見方もできるのです。磁束のある所、それに沿って「まず張力ありき」と考えるのです。この立場では端部は無い方が良いのです。持ち出さなければ問題は生じません。ところが端部を持ち出すと、そこから向こうには張力が存在できないので、それを終端支持するための真の力が算出されてしまうという訳です。

No.20 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/01 15:18

無限長ソレノイドというのは、通常なら「物理量が0になる」としている「無限遠」にまである大きさの磁束密度が通っている、という代物ですから、無限長ソレノイドというもの自体に矛盾があるような感じはもっています。

無限長ソレノイドの電磁力
「磁束ループがどうなっているか」といった捉え方（無限遠で物理量がどうなっているかという捉え方、無限遠の条件設定をどうとるか、と言い換えても良いかもしれません)で複数とおりの答えが出てくる、、、
多分そうなんだと思います。
私の見解としては、
「複数の解が存在しうるけど、その中で一番単純な（取り扱いが容易、JXBの結果などとつじつまを合わせやすい）、軸方向成分=0」
です。

環状ソレノイドの力
本質的に環の径方向か周方向か、、
環状を保つと、径方向の仮想変位δRと周方向の仮想変位δlは
δR=2πδl　の関係があるので、どちら方向が本質的か、とは言えないような気はしています（周方向成分と径方向成分に一意に分離できない）。多分、周方向と径方向との足したものが磁束相当の大きさになっている、というのが一番妥当な表現かもしれません。

環状ソレノイドに働く力も、複数の表現ができたかと思います。
どの表現方法を使うかで力の本質(という言い方は語弊があるかと思いますが)は変わるかと思います。
たとえば、vq100mgさんも使われている磁力線の長さ（磁束のある空間の体積)が変わることによる電磁力という表現方法だと、本質は（径の変化による）磁力線の長さの変化　という言い方になるでしょうし、
JXBの力を積算する方法だと、環の内側に相当する部分と外側に相当する部分のBの大きさの違い（曲げた内側のほうにBが集中する）が効いてきますので、「曲げたことによる磁束分布の不均一」という表現になるかと思います。
他には（これも仮想変位から導かれたかと思いますが）磁束の曲率で力を表現する表現方法もあったかと（すぐ上の磁束の不均一からもこの表現方法にたどり着けたかもしれません）。この場合には「磁束の曲率」ということになるかと思います。

もちろん、一番の大元(本質)になっているのは、
「全磁束エネルギー　∫BH/2 dv がどう変わるか」
なんですが、これから発生する力をどのような形で表現するか、というのは複数あっても良いかと思います。
適切に取り扱えば、どの表現からスタートしても、同じ条件下で計算をすすめると、最終的には同じ答えになるはずです。
(ただし、無限遠みたいな、条件を自由に設定できるようなものが入ってくると、答えがひとつに収束しない場合も出てくるでしょうが）

No.19 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/01 14:02

leibniz さんへの私の最終見解は次のようになります。

重要な事は磁束ループが存在するか否かです。通常それは電磁気学の基本条件ではあるのですが、無限長ソレノイドと言われた時、多少ウヤムヤなところがあります。そして出題者によって認識の違いがあると思われます。磁束ループが閉じていれば、ソレノイド長が有限であれ無限であれ、ギャップの仮想変位で得られる計算結果に問題はないと思います。

直線状ソレノイドでも環状ソレノイドでも共通して言える事は、「磁束ループが縮もうとするような力が生じている」という事です。直線状無限長ソレノイド端部は、正に磁束ループの有無を決定しており、議論の価値ありという事です。

No.18 回答者： vq100mg 回答日時： 2006/01/01 11:52

foobarさん、ありがとうございました。

端部効果の重要性を、ないがしろにした私の認識は誤りでした。
まず端部近くを切断して張力を測定する、中央寄りに少し移動して張力を測定するを繰り返せば、早々に F = 1/2 μ(nI)^2 S　という一定値に収斂する。つまり中央付近での累積はなく、全体を通して掛かる張力は端部付近で発生したものだという事ですね。全ては「無限長ソレノイドに端部があるか否か」に掛かっている事、認識いたしました。「磁束の帰路の事を考えると無限長でも端部はある」とは申しません。それは多くにおいてウヤムヤである事を承知しています。

環状ソレノイドの件ですが、軸力はその方向への電磁力によるものか、あるいは環中心への電磁力からアーチ（クサビ）の効果で副次的に派生するものなのか、両者によるのか、本質はどちらでしょうか。以前のご記述によれば環中心への電磁力が本質とされているように思います。支持方法によってどちらか一方に変化させられる事は承知です。そこで疑問なのが本質を区別（独立に分離測定）できるかという事です。

無限長ソレノイドで軸力の根源は端部でした。環状ソレノイドでこれに当たる重要物は何なのでしょうか。

いずれにせよ、ご教示いただいて一つの謎がスッキリ解明いたしました。ありがとうございました。

No.17 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/01 07:05

新年早々の訂正、、

#16中「(無限大の磁気エネルギーを支える構造物が必要なのですが、これはソレノイドの片面いっぱいに広がる(太さ0、力0の)支持構造が担っていることになります。」は間違いです。
環状ソレノイドの環の径を大きくしていくと、磁気エネルギー相当の機械エネルギーのうち環の径方向で支える割合が減っていって、無限大の径では割合が0になる（磁気エネルギー相当の機械的なひずみエネルギーはすべてソレノイドの巻き線をソレノイド径方向に支える部分(コイル電線の張力に相当)が負担することになるので。

No.16 回答者： foobar 回答日時： 2006/01/01 06:30

あけましておめでとうございます。

vq100mgさん
「またコイルは隣どうし密に巻かれるか、ボビンに巻かれ、『機械的に結合され』、かつ他の『構造物から完全に浮上している』と考えております。」
『』の部分の捉え方の相違かと思います。

「有限長ソレノイドだと端部付近で生じた電磁力が構造物（この場合は線輪自体)を通じて中心まで伝わっている、無限長ソレノイドでも同様な力がかかっているはず」
有限長ソレノイドの場合には、どんなに長くても必ず端部があるので、（他に支持物が無い場合）支持構造を通じて力は中央付近まで伝わります。
無限長ソレノイドではその端部が無いことと、「無限遠方では(明示している以外の)物理量は0」という(暗黙の？)前提をおく影響かと思います。
（計算上、無限長ソレノイドでは各ターンは軸方向の電磁力が無いので、無限遠上での力がそのまま伝わってきます。で、その初期値が0なら伝わる力はどこをとっても、0のままだと）
コイル内を通っている磁束が最終的にどこに行くか、というのと含めて、やはり『無限遠』の影響かなと思います。
私の捉えかたとしては「（無限長のソレノイドは実在し得ないので）それでもOKとする」です。(後述するように、環状ソレノイドからの変形の仕方によっては、軸方向に力の加わっていないソレノイドもできますし）

軸方向に支持する力の不要なコイル、というのはまったく存在しないわけではなくて、たとえば100ターンの環状ソレノイドで1ターン目と51ターン目、2ターン目と52ターン目、という具合に環の中心をはさんだコイル同士を連結して（1ターンと2ターンの間は連結しない)支持するコイルというのも可能です。
このコイルでは環の周方向(ソレノイドの軸方向)には機械的な力は発生しません。(環の周方向には電磁力がバランスしているので）
で、この環の直径(ソレノイドの直径ではなくて)を無限大にすると、最終的には無限長ソレノイド（を含んだ環状ソレノイド)になります。
でもって、この場合には軸方向の力は0（対向するターンとの支持力も極限をとれば0)になります。
(無限大の磁気エネルギーを支える構造物が必要なのですが、これはソレノイドの片面いっぱいに広がる(太さ0、力0の)支持構造が担っていることになります。このあたりも「無限遠」によるいたずらかと)
といった具合に、無限長ソレノイドはそこにいたる過程で複数の形態をとりうるかと思います。

環状ソレノイドでもソレノイドに沿った構造体で電磁力を支える構造ももちろん可能です、その場合には、有限長ソレノイドと同じだけの機械的な力が支持構造物加わるのはvq100mgさんの書かれているとおりです。(複数の支持方法が可能なのは、コイルが曲がっているので、環の径方向の力を直接径方向の構造で支えるだけでなく、軸方向の力に分解して支えることも可能、という点からきているかと）